12. (Eear 2016) Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem (5√5) cm de comprimento e a soma dos catetos é igual a 15 cm. As medidas,...

Para encontrar as medidas dos catetos, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se a hipotenusa tem comprimento (5√5) cm, então podemos escrever: (5√5)² = cateto1² + cateto2² Simplificando, temos: 125 = cateto1² + cateto2² Sabemos também que a soma dos catetos é igual a 15 cm, ou seja: cateto1 + cateto2 = 15 Podemos utilizar o sistema de equações para encontrar as medidas dos catetos: cateto1 + cateto2 = 15 cateto1² + cateto2² = 125 Uma das formas de resolver esse sistema é isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir na outra. Por exemplo, podemos isolar cateto2 na primeira equação: cateto2 = 15 - cateto1 Substituindo na segunda equação: cateto1² + (15 - cateto1)² = 125 Expandindo os termos e simplificando, temos: 2cateto1² - 30cateto1 + 50 = 0 Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara: delta = (-30)² - 4.2.50 delta = 900 - 400 delta = 500 cateto1 = (-(-30) + √500) / (2.2) cateto1 = (30 + 10√5) / 4 cateto2 = 15 - cateto1 cateto2 = (60 - 30√5 - 10√5) / 4 cateto2 = (60 - 40√5) / 4 cateto2 = 15 - 10√5 Portanto, as medidas dos catetos são aproximadamente 3,09 cm e 11,91 cm. A alternativa correta é a letra C.