LISTA 11 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 11 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 
1. (Unicamp 2021) A figura abaixo exibe três círculos 
tangentes dois a dois e os três tangentes a uma mesma 
reta. Os raios dos círculos maiores têm comprimento R 
e o círculo menor tem raio de comprimento r. 
 
 
 
A razão R r é igual a 
a) 3. 
b) 10. 
c) 4. 
d) 2 5. 
 
2. (G1 - ifce 2019) O quadrilátero ABCD é tal que os 
ângulos ˆABC e ˆADC são retos. Sabendo que os lados 
AB, BC e CD medem 7 m, 24 m e 20 m, 
respectivamente, podemos concluir que o perímetro 
desse quadrilátero, em m, vale 
a) 66. 
b) 62. 
c) 51. 
d) 54. 
e) 70. 
 
3. (Eear 2019) Se ABC é um triângulo retângulo em 
A, o valor de n é 
 
 
 
a) 
22
3
 
b) 
16
3
 
c) 22 
d) 16 
 
 
 
 
 
 
4. (G1 - cotil 2019) O mapa abaixo mostra o 
posicionamento de três cidades – nomeadas de A, B e 
C – e as rodovias que as ligam e se cruzam 
perpendicularmente na cidade A. Em uma rodovia, a 
60 km de distância de A, encontra-se a cidade B; na 
outra, a 80 km de A, encontra-se a cidade C. Um 
posto policial deve ser construído na rodovia que liga a 
cidade B até a C, conforme o desenho. 
 
 
 
Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade 
B? 
 
a) 20 km 
b) 36 km 
c) 40 km 
d) 47 km 
 
5. (EsPCEx 2019) Os centros de dois círculos distam 
25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 
15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos 
é 
 
a) 12 cm. 
b) 24 cm. 
c) 30 cm. 
d) 32 cm. 
e) 26 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. (G1 - ifsc 2019) Para instalar uma antena parabólica 
utiliza-se um poste sustentado por dois cabos, como 
indicado na figura abaixo. Calcule a altura aproximada 
deste poste. 
 
 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
a) 6,00 m 
b) 6,24 m 
c) 8,00 m 
d) 8,36 m 
e) 9,43 m 
 
7. (Espm 2019) Num triângulo retângulo de hipotenusa 
a e catetos b e c, a medida da altura relativa à 
hipotenusa é igual a 4. O valor da expressão 
a b c
b c a c a b
+ +
  
 é igual a: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 
1
2
 
d) 
1
4
 
e) 
1
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (Udesc 2018) Na figura abaixa sem escala, o raio da 
circunferência de centro O é r 3 cm= e o segmento 
OP mede 5 cm. 
 
 
 
Sabendo que o segmento PQ tangencia a 
circunferência no ponto T, pode-se dizer que o 
segmento OQ mede: 
 
a) 1,25 cm 
b) 5 cm 
c) 3,75 cm 
d) 4 cm 
e) 3,5 cm 
 
9. (G1 - ifal 2017) Determine a altura relativa à 
hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos 
medem 6 cm e 8 cm. 
 
a) 3,6 cm. 
b) 4,8 cm. 
c) 6,0 cm. 
d) 6,4 cm. 
e) 8,0 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. (G1 - cftmg 2017) Na figura, A é o centro da 
circunferência, CD é o diâmetro e GF é a altura do 
triângulo CDG. 
 
 
 
Sendo CG 3 cm= e DG 4 cm,= o segmento AF 
mede, em centímetros, 
 
a) 0,3. 
b) 0,5. 
c) 0,7. 
d) 0,9. 
 
11. (EsPCEx 2017) Na figura, o raio da circunferência 
de centro O é 
25
cm
2
 e a corda MP mede 10 cm. 
 
 
 
A medida, em centímetros, do segmento PQ é 
 
a) 
25
2
 
b) 10 
c) 5 21 
d) 21 
e) 2 21 
 
 
12. (Eear 2016) Sabe-se que a hipotenusa de um 
triângulo retângulo tem 5 5 cm de comprimento e a 
soma dos catetos é igual a 15 cm. 
 
As medidas, em cm, dos catetos são 
 
a) 6 e 9 
b) 2 e 13 
c) 3 e 12 
d) 5 e 10 
 
13. (EPCAr 2012) Brincando de dobraduras, Renan 
usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por 
21cm e dobrou conforme o procedimento abaixo 
descrito. 
 
1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M 
 
 
 
2º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o 
ponto E 
 
 
 
3º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e 
D para F e G, respectivamente. 
 
 
 
4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante. 
 
 
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Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a 
medida do segmento MR, em centímetros, é igual a 
a) 6 
b) 6 2 
c) 9 
d) 9 2 
 
14. (ESA 2014) Em um triângulo retângulo de lados 
9m, 12m e 15m, a altura relativa ao maior lado será: 
 
a) 7,2m 
b) 7,8m 
c) 8,6m 
d) 9,2m 
e) 9,6m 
 
15. (ESA 2015) Num triângulo retângulo cujos catetos 
medem 8 9e , a hipotenusa mede: 
 
) 10
) 11
) 13
) 17
) 19
a
b
c
d
e
 
 
GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, segue que 
2 2 2 2(R r) R (R r) R 4Rr 0
R
4.
r
+ = + −  − =
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
AC 24 7
AC AD 20
= +
= +
 
 
Portanto: 
2 2 2 2
2
AD 20 24 7
AD 225
AD 15
+ = +
=
=
 
 
Logo, o perímetro do quadrilátero será dado por: 
P 7 24 20 15 66 m= + + + = 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Da figura, temos: 
( )25 3 3 n
25 9 3n
16 3n
16
n
3
=  +
= +
=
=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Chamando o posto policial de P, obtemos uma nova 
figura: 
 
 
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Utilizando relações métricas no triângulo retângulo, 
obtemos: 
2 2 2
2
2
BC 60 80 BC 100 km
AC BC PB
60 100 PB
PB 36 km
= +  =
= 
= 
=
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
 
 
Considerando a figura acima, temos: 
O triângulo 1 2AO O é retângulo em A, pois: 
2 2 225 15 20 .= + 
 
Logo, o segmento de medida h é altura desse triângulo. 
20 15 25 h h 12 =   = 
 
Portanto, AB 2 h 24 cm.=  = 
 
Resposta da questão 6: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Calculando: 
2 2 2 2 210 8 c c 100 64 c 36 c 6 m
10 h 8 6 h 4,8 m
= +  = −  =  =
 =   =
 
 
Observação: a imagem induz ao erro ao desenhar 
um triângulo retângulo de catetos iguais, quando eles 
são necessariamente de tamanhos diferentes. Para ser 
possível um triângulo retângulo isósceles de 
hipotenusa 10, seus catetos deveriam medir 50. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Uma das relações métricas de um triângulo retângulo 
nos diz que o produto dos catetos é igual ao produto 
da hipotenusa pela altura, ou seja, b c a h. =  . Logo: 
2 2 2 2 2 2
2
a b c a b c a a 2 a 2 1
b c a c a b a b c a a h 4 2a h
+ + + 
+ + = = = = =
       
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Tem-se que OT 3cm= e OP 5cm= implicam de 
imediato em PT 4cm.= Logo, vem 
2 2 25OP PT PQ 5 4 PQ PQ cm.
4
=   =   = 
 
Em consequência, temos 
25
OQ OP OT PQ OQ 5 3 OQ 3,75cm.
4
 =    =   = 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Observe primeiramente que: 
 
 
 
Obtendo a hipotenusa temos: 
2 2 2
2 2 2
hip cat cat
hip 8 6
hip 100 10
= +
= +
= =
 
 
Analisando a altura relativa (h), temos: 
 
 
 
Segundo as propriedades referentes a altura relativa a 
hipotenusa podemos afirmar que: 
26 m 10 36 10m
m 3,6
=   =
=
 
 
E que: 
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28 n 10 10n 64
n 6,4
=   =
=
 
 
Por fim, basta aplicar a relação h m n=  sobre o 
triangulo. Logo: 
2
2
h m n
h 3,6 6,4
h 23,04 4,8
= 
= 
= =
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
180ˆCGD 90 CGD é retângulo
2
Δ

= =  
 
Podemos então encontrar o diâmetro CD: 
2 2 2CD 3 4 CD 5 e AC 2,5= +  = = 
e 
2
2
CG CD CF
3 5 CF
CF 1,8
= 
= 
=
 
 
Portanto, 
AF AC CF AF 2,5 1,8 AF 0,7= −  = −  = 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
 
 
Considerando quetodo triângulo inscrito numa 
semicircunferência, com lado coincidindo com o 
diâmetro, é retângulo. Temos: 
2
2
2
2
2
PM 25 MQ
10 25 MQ MQ 4.
PQ MQ QN
PQ 4 (25 4)
PQ 84
PQ 2 21
= 
=   =
= 
=  −
=
=
 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Considerando que a soma dos catetos mede 15 cm, 
podemos estabelecer que a medida de uma dos 
catetos é x cm e a outra medida é 15 x cm.− 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
( )
22 2 2 2
2
x (15 x) 5 5 x 225 30x x 125
30 10
2x 30x 100 0 x x 10 ou x 5
4
+ − =  + − + = 

− + =  =  = =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
 
 
O Δ MEN é isósceles, logo ˆENM 45 .= 
 
ˆ ˆQRM ENM 45 = (ângulos correspondentes) e MQ = 
QR = 15 – 6 = 9. 
 
Logo, o segmento MR2 = 92 + 92 MR 9 2. =  
 
 
 
14- A 
 
15- D