1. (Ufu 2021) Sejam a, b e c três algarismos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sabendo-se que a, b e c estão, nessa ordem, em progr...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o seguinte raciocínio: Sabemos que a, b e c estão em progressão aritmética crescente, então podemos escrever: a = c - 2d b = c - d Onde d é a razão da progressão aritmética. Também sabemos que: 100a + 10b + c = 18d + 162 100(c - 2d) + 10(c - d) + c = 18d + 162 211c - 220d = 162 E que a fração geratriz da dízima periódica 0,abcabc é igual a: 0,abcabc = abc/999 Substituindo a = c - 2d e b = c - d na fração geratriz, temos: 0,abcabc = (c - 2d)*100/999 + (c - d)*10/999 + c/999 0,abcabc = (111c - 222d)/999 Substituindo 211c - 220d = 162 na expressão acima, temos: 0,abcabc = (111c - 222d)/999 = (111c - 220d + 2d)/999 = (162 + 2d)/999 Para que a fração geratriz seja irredutível, precisamos que o numerador e o denominador sejam primos entre si. Como 2d é par, o numerador é par e não é primo entre si com 999. Portanto, precisamos escolher um valor de d que torne o numerador ímpar e primo entre si com 999. Testando os valores de d, encontramos que d = 5 é o único que satisfaz essas condições. Substituindo d = 5 na expressão acima, temos: 0,abcabc = (162 + 2d)/999 = 172/333 Portanto, a alternativa correta é a letra d) 41/111.