Resolva os problemas de valor inicial abaixo: (a) y′′ − 9y = 12 cos 3x, y(0) = 4, y′(0) = 0; (b) y′′ − 4y′ + 3y = 4e−x, y(0) = 0, y′(0) = 2; (c) y′...

(a) Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y'' - 9y = 0, que é yh(x) = c1e^(3x) + c2e^(-3x). Em seguida, encontramos uma solução particular yp(x) da equação não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Temos que yp(x) = cos(3x)/3. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1e^(3x) + c2e^(-3x) + cos(3x)/3. Usando as condições iniciais, temos que y(0) = 4 e y'(0) = 0. Substituindo esses valores na solução geral, obtemos o sistema de equações c1 + c2 + 1/3 = 4 e 3c1 - 3c2 = 0. Resolvendo esse sistema, encontramos c1 = 4/3 e c2 = 4/9. Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(x) = (4/3)e^(3x) + (4/9)e^(-3x) + cos(3x)/3. (b) Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y'' - 4y' + 3y = 0, que é yh(x) = c1e^x + c2e^(3x). Em seguida, encontramos uma solução particular yp(x) da equação não homogênea usando o método da variação das constantes. Temos que yp(x) = (1/2)e^(-x). Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1e^x + c2e^(3x) + (1/2)e^(-x). Usando as condições iniciais, temos que y(0) = 0 e y'(0) = 2. Substituindo esses valores na solução geral, obtemos o sistema de equações c1 + c2 + (1/2) = 0 e c1 + 3c2 - (1/2) = 2. Resolvendo esse sistema, encontramos c1 = 1/2 e c2 = -1. Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(x) = (1/2)e^x - e^(3x) + (1/2)e^(-x). (c) Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y'' + 2y' + y = 0, que é yh(x) = c1e^(-x) + c2xe^(-x). Em seguida, encontramos uma solução particular yp(x) da equação não homogênea usando o método da variação das constantes. Temos que yp(x) = (1/6)x^2e^x. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1e^(-x) + c2xe^(-x) + (1/6)x^2e^x. Usando as condições iniciais, temos que y(0) = 3 e y'(0) = 5. Substituindo esses valores na solução geral, obtemos o sistema de equações c1 = 3 e c2 - c1 = 5. Resolvendo esse sistema, encontramos c1 = 3 e c2 = 8. Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(x) = 3e^(-x) + 8xe^(-x) + (1/6)x^2e^x. (d) Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y'' + 4y' + 13y = 0, que é yh(x) = e^(-2x)(c1cos(3x) + c2sin(3x)). Em seguida, encontramos uma solução particular yp(x) da equação não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Temos que yp(x) = (5/13)cos(2x). Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = e^(-2x)(c1cos(3x) + c2sin(3x)) + (5/13)cos(2x). Usando as condições iniciais, temos que y(0) = 0 e y'(0) = 5. Substituindo esses valores na solução geral, obtemos o sistema de equações c1 + (5/13) = 0 e -2c1 + 3c2 = 5. Resolvendo esse sistema, encontramos c1 = -5/13 e c2 = 5/39. Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(x) = e^(-2x)(-(5/13)cos(3x) + (5/39)sin(3x)) + (5/13)cos(2x).