Resolva os problemas de valor inicial abaixo: a)y′ + y(x2 − 1) + xy6 = 0, y(1) = 1; b)2yy′ + 1 = y2 + x, y(0) = 1; c)y2y′ = y3 − 3x, y(0) = 2; d)x...

a) Para resolver este problema, podemos usar o método de fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante, que é dado por: μ(x) = e^(∫(x^2-1)dx) = e^((1/3)x^3-x) Multiplicando ambos os lados da equação por μ(x), obtemos: e^((1/3)x^3-x)y' + e^((1/3)x^3-x)y(x^2-1) + xe^((1/3)x^3-x)y^6 = 0 Agora, podemos integrar ambos os lados da equação em relação a x: e^((1/3)x^3-x)y + ∫xe^((1/3)x^3-x)y^6dx = C Usando a condição inicial y(1) = 1, podemos encontrar o valor de C: e^(2/3) + ∫e^(2/3)x^6dx = C C = e^(2/3) + (1/21)e^(2/3) = (22/21)e^(2/3) Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: e^((1/3)x^3-x)y + ∫xe^((1/3)x^3-x)y^6dx = (22/21)e^(2/3) b) Este problema pode ser resolvido usando o método de separação de variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação para obter: y' = (y^2 + x - 1)/(2y) Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação em relação a y e x, respectivamente: ∫2y/(y^2 + x - 1)dy = ∫dx ln|y^2 + x - 1| = x + C Usando a condição inicial y(0) = 1, podemos encontrar o valor de C: ln|y^2 - 1| = C C = ln 2 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: ln|y^2 + x - 1| = x + ln 2 c) Este problema também pode ser resolvido usando o método de separação de variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação para obter: y' = (y^2 - 3x)/y^2 Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação em relação a y e x, respectivamente: ∫y^2/(y^2 - 3x)dy = ∫dx y^2 - 3x = Ce^x Usando a condição inicial y(0) = 2, podemos encontrar o valor de C: 4 - 0 = Ce^0 C = 4 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: y^2 - 3x = 4e^x d) Este problema pode ser resolvido usando o método de separação de variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação para obter: y' = -y/(x + y) Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação em relação a y e x, respectivamente: ∫(x + y)/y dy = -∫dx xln|y| + y = -x + C Usando a condição inicial y(1) = 2, podemos encontrar o valor de C: ln 2 + 2 = -1 + C C = ln 2 + 3 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: xln|y| + y = -x + ln 2 + 3 e) Este problema também pode ser resolvido usando o método de separação de variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação para obter: y' = -y/x - 1 Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação em relação a y e x, respectivamente: ∫y/(y + x) dy = -∫dx ln|y + x| = -x + C Usando a condição inicial y(1) = 1, podemos encontrar o valor de C: ln 2 = -1 + C C = ln 2 + 1 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: ln|y + x| = -x + ln 2 + 1 f) Este problema pode ser resolvido usando o método de separação de variáveis. Primeiro, reorganizamos a equação para obter: y' = (x^2 - y^2)/(xy) Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação em relação a y e x, respectivamente: ∫y/(y^2 - x^2) dy = ∫dx/x (1/2)ln|y - x| - (1/2)ln|y + x| = ln|x| + C Usando a condição inicial y(1) = 2, podemos encontrar o valor de C: (1/2)ln|1 - 1| - (1/2)ln|1 + 1| = ln|1| + C C = -(1/2)ln 2 Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: (1/2)ln|y - x| - (1/2)ln|y + x| = ln|x| - (1/2)ln 2