Determinar os subespaços de ????2(espaço vetorial dos polinômios de grau ≤2) gerados pelos seguintes vetores: a)????1 = 2???? + 2, ????2 = −????² + ???? + ...

Para determinar os subespaços gerados pelos vetores dados, podemos utilizar o método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz escalonada reduzida dos coeficientes dos polinômios. Em seguida, podemos analisar as colunas pivôs para determinar as variáveis livres e, assim, encontrar uma base para o subespaço gerado pelos vetores. a) Para os vetores a1, a2 e a3, temos a seguinte matriz: | 2 -1 1 | | 2 1 2 | Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 0 1 | | 0 1 2 | As colunas pivôs são as colunas 1 e 2, portanto, as variáveis livres são x3. Podemos escolher x3 = 1 e x3 = 0 para encontrar duas bases diferentes para o subespaço gerado pelos vetores. Para x3 = 1, temos: a1 + a3 = (2x² + 2) + (x² + 2x) = 3x² + 2x + 2 a2 + 2a3 = (-x² + x + 3) + 2(x² + 2x) = 3x² + 5x + 3 Portanto, uma base para o subespaço gerado pelos vetores a1, a2 e a3 é {3x² + 2x + 2, 3x² + 5x + 3}. Para x3 = 0, temos: a1 = 2x² + 2 a2 = -x² + x + 3 Portanto, outra base para o subespaço gerado pelos vetores a1, a2 e a3 é {2x² + 2, -x² + x + 3}. b) Para os vetores b1 e b2, temos a seguinte matriz: | 0 1 | | 1 1 | Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 1 | | 0 1 | As colunas pivôs são as colunas 1 e 2, portanto, não há variáveis livres. Podemos escolher qualquer um dos vetores como base para o subespaço gerado pelos vetores b1 e b2. Por exemplo, {x², x² + x} é uma base para o subespaço. c) Para os vetores c1, c2 e c3, temos a seguinte matriz: | 1 0 0 | | 0 1 1 | | 0 0 1 | Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 1 | As colunas pivôs são as colunas 1, 2 e 3, portanto, não há variáveis livres. Podemos escolher qualquer um dos vetores como base para o subespaço gerado pelos vetores c1, c2 e c3. Por exemplo, {1, x, x²} é uma base para o subespaço.