dada a função u(x,y)=e^(-x) (xsen(y)-ycos(y)), mostre, usando a equação de Laplace, que u(x,y) é uma função harmônica;

Para mostrar que a função u(x,y) é harmônica, precisamos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é dada por: ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u(x,y): ∂u/∂x = -e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) ∂²u/∂x² = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) - 2e^(-x) sen(y) ∂u/∂y = e^(-x) (xcos(y) + ysen(y)) ∂²u/∂y² = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + 2e^(-x) cos(y) Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Laplace: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) - 2e^(-x) sen(y) + e^(-x) (xsen(y) - ycos(y)) + 2e^(-x) cos(y) = 0 Simplificando a expressão, temos: 2e^(-x) cos(y) - 2e^(-x) sen(y) = 0 e^(-x) (cos(y) - sen(y)) = 0 Como e^(-x) é sempre positivo, a única maneira de a equação ser satisfeita é se cos(y) = sen(y), o que ocorre apenas quando y = π/4 + kπ, onde k é um número inteiro. Portanto, u(x,y) é harmônica para todos os valores de x e y que satisfazem essa condição. Assim, mostramos que a função u(x,y) é harmônica usando a equação de Laplace.