Questão 4: Seja V um espaço vetorial. Considere W1 e W2 subespaços de V . Mostre que W1 ∪W2 é subespaço vetorial de V se, e somente se, W1 ⊆W2...

Para mostrar que W1 ∪ W2 é um subespaço vetorial de V, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de um subespaço vetorial. 1. O vetor nulo de V pertence a W1 ∪ W2: - Como W1 e W2 são subespaços vetoriais de V, ambos contêm o vetor nulo de V. Portanto, o vetor nulo de V pertence a W1 ∪ W2. 2. W1 ∪ W2 é fechado sob a operação de adição: - Sejam u e v vetores em W1 ∪ W2. Então, u e v pertencem a W1 ou a W2 (ou ambos). Sem perda de generalidade, suponha que u e v pertencem a W1. Como W1 é um subespaço vetorial de V, u + v também pertence a W1. Portanto, u + v pertence a W1 ∪ W2. 3. W1 ∪ W2 é fechado sob a multiplicação por escalar: - Seja u um vetor em W1 ∪ W2 e k um escalar. Então, u pertence a W1 ou a W2 (ou ambos). Sem perda de generalidade, suponha que u pertence a W1. Como W1 é um subespaço vetorial de V, k * u também pertence a W1. Portanto, k * u pertence a W1 ∪ W2. Portanto, W1 ∪ W2 é um subespaço vetorial de V se, e somente se, W1 está contido em W2 ou W2 está contido em W1.