lgebra_Linear_Lista_3_

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Questão 1: Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços do R3
a) {(x1, x2, x3) ∈ R3;x2 = 2}
b) {(x1, x2, x3) ∈ R3;x1 + x2 + x3 = 0}
c) {(x1, x2, x3) ∈ R3;x1 < x3 < x2}
d) {(x1, x2, x3) ∈ R3;x1 + x2 ∈ Q}
Questão 2: Seja V um espaço vetorial. Prove que se Wi, i = 1, ..., n são subespaços vetoriais de V , então
n⋂
i=1
Wi é um subespaço vetorial de V .
Questão 3: Seja V um espaço vetorial. Considere W1 e W2 subespaços de V . É sempre verdade que
W1 ∪W2 é subespaço vetorial de V ?
Questão 4: Seja V um espaço vetorial. Considere W1 e W2 subespaços de V . Mostre que W1 ∪W2 é
subespaço vetorial de V se, e somente se, W1 ⊆W2 ou W2 ⊆W1.
Questão 5: Considere o sistema  x + 2y + 2z = a2x + 3y + 4z = b
x + 4y + 3z = c
determine quais condições devemos impor para a, b e c para que o conjunto solução do sistema dado seja um
subespaço vetorial do R3.
Questão 6: Prove que 1 + 2i e 3− 4i geram o espaço vetorial C sobre R.
Questão 7: Dados u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1) e w = (−3, 2, 7) em R3, obtenha números reais x e y tais
que w = xu+ yv. Quantas soluções admite este sistema?
Questão 8: Sejam u = (x, y) e v = (x′, y′) vetores em R2. Mantenha a definição do produto de um
número real α por um vetor u, como αu = (αx, αy). Definindo a soma como nos itens abaixo, determine
quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
a) u+ v = (x+ y′, x′ + y)
b) u+ v = (xx′, yy′)
1
c) u+ v = (3x+ 3x′, 5x+ 5x′)
Questão 9: Considere o espaço vetorial V = R3. Seja W = {(x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − z = 0} ⊂ V .
a) Mostre que W é um subespaço vetorial de V .
b) Determine uma base para W .
Questão 10: Considere o espaço vetorial V = R3. Sejam U = Span{(1, 1, 0)} e W = Span{(1, 1, 1)}.
a) Mostre que U +W é um subespaço vetorial de V .
b) A soma U +W é direta?
Questão 11: Dados U e W subespaços de um espaço vetorial V , tais que U ⊂ W , então mostre que
U +W = W .
Questão 12: Sejam U = {(x, y, 0);x, y ∈ R} e W = {(x, 0, z);x, z ∈ R} subespaços do R3. A soma
U +W é direta?
Questão 13: Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes.
a) (1, 1, 1), (0, 1,−2).
b) (π, 0), (0, 1).
c) (1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1,−1).
d) (0, 1, 1), (0, 2, 1), (1, 5, 3).
Questão 14: Considere o espaço vetorial de funções reais determinadas para t > 0. Mostre que os
seguintes pares de funções são linearmente independentes.
a) f1(t) = t, f2(t) =
1
t .
b) f1(t) = e
t, f2(t) = log(t).
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