Considere um dipolo na presença de um campo elétrico externo uniforme ~E. Mostre que o torque por ele sofrido pode ser escrito como ~τ = ~p× ~E.

Sim, é possível mostrar que o torque sofrido por um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme pode ser escrito como ~τ = ~p× ~E. Para isso, podemos utilizar a definição de torque, que é dada por: ~τ = ~r × ~F Onde ~r é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de rotação e ~F é a força aplicada. No caso do dipolo elétrico, a força elétrica que atua sobre ele é dada por: ~F = ∇( ~p. ~E) Onde ∇ é o operador nabla, ~p é o vetor dipolo elétrico e ~E é o campo elétrico externo. Substituindo a força elétrica na equação do torque, temos: ~τ = ~r × ∇( ~p. ~E) Podemos utilizar a identidade vetorial: ∇( ~p. ~E) = (~p. ∇) ~E + (~E. ∇) ~p + ~p × (∇ × ~E) + ~E × (∇ × ~p) Como o campo elétrico externo é uniforme, temos que ∇ × ~E = 0. Além disso, o vetor dipolo elétrico ~p é constante. Portanto, podemos simplificar a expressão acima para: ~τ = ~p × ~E Assim, mostramos que o torque sofrido por um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme pode ser escrito como ~τ = ~p × ~E.