Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=x^2+y^2, acima do plano xy e dentro do plano x^2+y^2 = 2x

Para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=x^2+y^2, acima do plano xy e dentro do plano x^2+y^2 = 2x, podemos utilizar o método de integração em coordenadas cilíndricas. Primeiro, devemos encontrar os limites de integração. O plano x^2+y^2 = 2x pode ser reescrito como (x-1)^2 + y^2 = 1, que é a equação de um círculo com centro em (1,0) e raio 1. Assim, podemos escrever os limites de integração como: 0 ≤ z ≤ r^2 0 ≤ r ≤ 2cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π Agora, podemos escrever a integral tripla para calcular o volume: V = ∫∫∫ dV V = ∫∫∫ r dz dr dθ V = ∫0^2π ∫0^2cosθ ∫0^r^2 r dz dr dθ V = ∫0^2π ∫0^2cosθ r^3 dr dθ V = ∫0^2π [r^4/4]0^2cosθ dθ V = ∫0^2π (16cos^4θ)/4 dθ V = ∫0^2π 4cos^4θ dθ V = 8π/3 Portanto, o volume do sólido é 8π/3.