Calcule a integral tripla ∫∫∫Q dV / (x2 + y2 + z2), onde Q = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 12; x2 + y2 + z2 ≥ 4z; z ≥ √(x2 + y2)/3}. [object Obj...

A integral tripla ∫∫∫Q dV / (x2 + y2 + z2), onde Q = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 12; x2 + y2 + z2 ≥ 4z; z ≥ √(x2 + y2)/3} pode ser resolvida utilizando a mudança de variáveis x = ρ senφ cos θ, y = ρ senφ sen θ e z = ρ cosφ. Após a mudança de variáveis, o domínio de integração se torna um paralelepípedo com lados de comprimento 2√3, 2√3 e 4√3. A integral fica então ∫∫∫R (ρ2 senφ dρ dφ dθ) / ρ2, onde R é o domínio de integração após a mudança de variáveis. Simplificando, temos que a integral é igual a ∫∫∫R senφ dρ dφ dθ. Integrando em relação a ρ, temos que a integral é igual a ∫∫R senφ dφ dθ. Integrando em relação a φ, temos que a integral é igual a ∫02π dθ ∫0π/3 senφ dφ + ∫π/3π/2 senφ dφ. Resolvendo as integrais, temos que a integral tripla é igual a 2π(2-√3).