A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na ...

a) Para encontrar as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F, precisamos encontrar as interseções da circunferência com as retas r e s e com o eixo Ox. A equação da circunferência é dada por x² + y² = r², onde o centro é a origem (0,0) e o raio é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência. Substituindo x e y pelos valores das retas r e s, temos: r: y = x - 1 Substituindo y em x² + y² = r², temos: x² + (x - 1)² = r² 2x² - 2x + 1 - r² = 0 s: y = -x + 1 Substituindo y em x² + y² = r², temos: x² + (-x + 1)² = r² 2x² - 2x + 1 - r² = 0 Igualando as duas equações, temos: 2x² - 2x + 1 - r² = 2x² - 2x + 1 - r² 0 = 0 Isso significa que as duas retas são iguais e, portanto, não há interseção entre elas e a circunferência. Para encontrar as interseções da circunferência com o eixo Ox, basta substituir y por 0 na equação da circunferência: x² + 0² = r² x = ±r Portanto, os pontos B e C têm coordenadas (r, 0) e (-r, 0), respectivamente. Para encontrar os pontos D, E e F, basta encontrar as interseções da circunferência com o eixo Ox. Substituindo y por 0 na equação da circunferência, temos: x² + 2² = r² x² = r² - 4 x = ±√(r² - 4) Portanto, os pontos D, E e F têm coordenadas (√(r² - 4), 0), (-√(r² - 4), 0) e (0, r), respectivamente. Para encontrar a área do hexágono ABCDEF, podemos dividi-lo em seis triângulos congruentes, cada um com base r e altura √3r/2. Portanto, a área do hexágono é: Área = 6 x (1/2 x r x √3r/2) = 3√3r²/2 b) Para encontrar o cosseno do ângulo AÔB, podemos usar o produto escalar entre os vetores OA e OB. O vetor OA tem coordenadas (1, 2, 0) e o vetor OB tem coordenadas (r, 0, 0). O produto escalar entre esses vetores é dado por: OA . OB = |OA| x |OB| x cos(AÔB) Como os vetores são perpendiculares no plano xy, o produto escalar é igual ao produto dos módulos dos vetores: OA . OB = |OA| x |OB| x cos(90°) OA . OB = |OA| x |OB| x 0 OA . OB = 0 Portanto, o cosseno do ângulo AÔB é zero, o que significa que o ângulo é reto (90°).