a) I) Satisfazível mas não tautologia. II) Tautologia. III) Satisfazível mas não tautologia. IV) Insatisfazível. b) I) A sentença é satisfazível, mas não é uma tautologia. Para mostrar isso, podemos construir uma interpretação em que a sentença é verdadeira e outra em que é falsa. Por exemplo, considere o domínio {0, 1} e a interpretação em que α(x) é verdadeira para x = 0 e falsa para x = 1. Nessa interpretação, a sentença é verdadeira, pois existe um valor de x (0) para o qual α(x) é verdadeira e, portanto, a implicação é verdadeira. No entanto, se considerarmos a interpretação em que α(x) é falsa para todos os valores de x, a sentença é falsa, pois a implicação não é satisfeita. II) A sentença é uma tautologia. Para mostrar isso, podemos usar a definição de consequência semântica. Suponha que temos uma interpretação I e uma valoração v em I. Se a sentença II não for verdadeira em I sob v, então deve haver um valor de x para o qual ¬(ϕ(x) ∨ ψ(x)) é verdadeiro em I sob v. Isso implica que tanto ¬ϕ(x) quanto ¬ψ(x) são verdadeiros em I sob v. Mas isso significa que tanto ∀xϕ(x) quanto ∀xψ(x) são falsos em I sob v, o que implica que a disjunção ∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x) é falsa em I sob v. Portanto, a sentença II é uma tautologia. III) A sentença é satisfazível, mas não é uma tautologia. Para mostrar isso, podemos construir uma interpretação em que a sentença é verdadeira e outra em que é falsa. Por exemplo, considere o domínio {0, 1} e a interpretação em que δ(x, y) é verdadeira para x = 0 e y = 1. Nessa interpretação, a sentença é verdadeira, pois para todo valor de x existe um valor de y para o qual δ(x, y) é verdadeira. No entanto, se considerarmos a interpretação em que δ(x, y) é falsa para todos os valores de x e y, a sentença é falsa, pois nem a primeira nem a segunda disjunção são satisfeitas. IV) A sentença é insatisfazível. Para mostrar isso, podemos usar a definição de consequência semântica. Suponha que temos uma interpretação I e uma valoração v em I. Se a sentença IV não for verdadeira em I sob v, então deve haver um valor de x para o qual σ(x) é verdadeiro em I sob v e ¬σ(x) é falso em I sob v. Mas isso é uma contradição, pois não pode haver um valor de x para o qual σ(x) é verdadeiro e ¬σ(x) é falso. Portanto, a sentença IV é insatisfazível.