Considere a função ????(????) = 2 + √4???? − ????2. (a) Determine o ????????????(????) (o domínio da função). (b) Complete o quadrado na variável ????, em ???? = 2 + ...
(a) Determine o domínio da função ????(????) = 2 + √4???? − ????2.
(b) Complete o quadrado na variável ????, em ???? = 2 + √4???? − ????2. O gráfico dessa função ????(????) é parte do gráfico de uma curva conhecida. Identifique e descreva a curva que representa o gráfico da função, indicando seus elementos principais.
(c) Usando o item(b), esboce o gráfico da função. Determine e indique no gráfico, se existirem, as coordenadas dos pontos de interseção com o ???????????????? ???? e com o ???????????????? ????. Observando o gráfico de ????, encontre sua imagem.
(d) Considerando ???? ∈ ????????????(????), essa função admite inversa? Se a resposta é não, justifique. Se a resposta é sim, faça o que se pede a seguir: dê o domínio e imagem da inversa, esboce em um mesmo par de eixos, a reta de equação ???? = ????, o gráfico da função ????, o gráfico da função inversa de ???? e por último determine a expressão da inversa.
(e) Considerando ???? ∈ ????????????(????) e ???? ≤ 2, essa função admite inversa? Se a resposta é não, justifique. Se a resposta é sim, faça o que se pede a seguir: dê o domínio e imagem da inversa, esboce em um mesmo par de eixos, a reta de equação ???? = ????, o gráfico da função ????, o gráfico da função inversa de ???? e por último determine a expressão da inversa.
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💡 1 Resposta
Ed 
(a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa, ou seja, 4x - x^2 ≥ 0. Resolvendo a inequação, temos x ∈ [0, 4]. (b) Para completar o quadrado, vamos reescrever a função como: y = -x^2 + 4x + 2 = -(x - 2)^2 + 6. O gráfico dessa função é uma parábola com vértice em (2, 6), concavidade voltada para baixo e intercepta o eixo y em (0, 4). (c) O gráfico da função é uma parábola com vértice em (2, 6), concavidade voltada para baixo e intercepta o eixo y em (0, 4). As coordenadas dos pontos de interseção com o eixo x são (0, 2) e (4, 2). A imagem da função é [2, 6). (d) A função não é injetora, pois possui um trecho horizontal. Portanto, não admite inversa. (e) A função também não admite inversa, pois o trecho horizontal permanece quando restringimos o domínio para x ≤ 2.
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