Questão 4 [2,1 pontos]

(4.a) [0,6 ponto] Resolva em ℝ , a inequação
????????−2/(1−????^2)

Question

Questão 4 [2,1 pontos]

(4.a) [0,6 ponto] Resolva em ℝ , a inequação
????????−2/(1−????^2) < 0 .

Quando for o caso, dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum).

(4.b) [1,5 ponto] Esboce o gráfico da função ???? = ????????. A partir do gráfico de ???? = ???????? , use transformações em gráficos e esboce o gráfico da função ℎ(????) = −????|????−1| + 4. . Descreva em palavras as transformações usadas e esboce os gráficos usados até encontrar o gráfico de ℎ(????) = −????|????−1| + 4. Encontre os pontos onde o gráfico da função ???? = ℎ(????) corta ou toca os eixos coordenados, quando existirem. Marque esses pontos nos eixos coordenados.

Analisando o gráfico da função ℎ estude o sinal da função ???? = ℎ(????) , ou seja, encontre os valores de ???? tais que h(????) = 0 , ℎ(????) > 0 ???? ℎ(????) < 0.
(4.a) [0,6 ponto] Resolva em ℝ , a inequação
????????−2/(1−????^2) < 0 .

Quando for o caso, dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum).
(4.b) [1,5 ponto] Esboce o gráfico da função ???? = ????????. A partir do gráfico de ???? = ???????? , use transformações em gráficos e esboce o gráfico da função ℎ(????) = −????|????−1| + 4. . Descreva em palavras as transformações usadas e esboce os gráficos usados até encontrar o gráfico de ℎ(????) = −????|????−1| + 4. Encontre os pontos onde o gráfico da função ???? = ℎ(????) corta ou toca os eixos coordenados, quando existirem. Marque esses pontos nos eixos coordenados.

Analisando o gráfico da função ℎ estude o sinal da função ???? = ℎ(????) , ou seja, encontre os valores de ???? tais que h(????) = 0 , ℎ(????) > 0 ???? ℎ(????) < 0.

Ed · Answer

Resolução:

(4.a) Para resolver a inequação, precisamos encontrar os valores de x que tornam a expressão menor que zero. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x que tornam a expressão igual a zero ou indefinida:

1 - x^2 = 0
x = 1 ou x = -1

A expressão é indefinida quando x = 1 ou x = -1. Agora, vamos montar a tabela de sinais:

x | 1-x^2 | 2/(1-x^2) | 1-x^2 - 2/(1-x^2)
-2 | 3    | -1        | 4
-1 | 0    | indef.    | -
0  | 1    | 2         | -1
1  | 0    | indef.    | -
2  | 3    | -1        | 4

Observando a tabela, vemos que a expressão é menor que zero nos intervalos (-1, 1). Portanto, a solução da inequação é:

x ∈ (-1, 1)

(4.b) Para esboçar o gráfico de f(x) = x/(1-x^2), podemos começar analisando o comportamento da função nos intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, vamos encontrar os pontos críticos e montar a tabela de variação:

1 - x^2 = 0
x = 1 ou x = -1

x | 1-x^2 | x/(1-x^2)
-2 | 3    | 1/3
-1 | 0    | 0
0  | 1    | 0
1  | 0    | 0
2  | 3    | -1/3

A função é crescente no intervalo (-1, 0) e decrescente no intervalo (0, 1). Agora, vamos esboçar o gráfico:

```
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