Questão 1 [2,5 pontos] Faça o que se pede em cada item. (1.a) [1,3 ponto] Resolva 2 cos(3????) + 3 tan(3????) = 0 para −????/3 ≤ ???? ≤ ????/3. (1.b) ...

Para resolver a questão 1.a, podemos começar isolando a função tangente e substituindo a função cosseno por sua identidade trigonométrica: 2 cos(3????) + 3 tan(3????) = 0 2 cos(3????) + 3 (sin(3????)/cos(3????)) = 0 2 cos²(3????) + 3 sin(3????) = 0 2 (1 - sin²(3????)) + 3 sin(3????) = 0 2 - 2 sin²(3????) + 3 sin(3????) = 0 -2 sin²(3????) + 3 sin(3????) + 2 = 0 Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara: a = -2, b = 3 e c = 2 ???? = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ???? = (-3 ± √(9 - 4(-2)(2))) / 2(-2) ???? = (-3 ± √25) / (-4) Temos duas soluções: ???? = (-3 + 5) / (-4) = -1/2 ???? = (-3 - 5) / (-4) = 2 No entanto, precisamos verificar se essas soluções estão dentro do intervalo -π/3 ≤ ???? ≤ π/3. A única solução que satisfaz essa condição é ???? = -1/2. Portanto, a solução da questão 1.a é ???? = -1/2. Para resolver a questão 1.b, basta encontrar os valores reais de ???? que satisfazem a equação - ou seja, aqueles que fazem com que a expressão 2 cos(3????) + 3 tan(3????) seja igual a zero. A solução encontrada na questão 1.a é uma dessas soluções, mas existem outras. Para encontrá-las, podemos observar que a função tangente é periódica com período π, ou seja, tan(3????) = tan(3???? + π). Podemos usar essa propriedade para encontrar outras soluções: 2 cos(3????) + 3 tan(3????) = 0 2 cos(3????) + 3 tan(3???? + π) = 0 2 cos(3????) - 3 tan(3????) = 0 2 cos(3????) - 3 tan(3???? + π) = 0 Resolvendo cada uma dessas equações, encontramos as seguintes soluções: ???? = -1/2, π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 Portanto, as soluções da questão 1.b são ???? = -1/2, π/6, 5π/6, 7π/6 e 11π/6. Para resolver a questão 1.c, podemos começar encontrando os pontos em que a função seno se anula: 2 sen2(3????) - 3 sen(3????) - 2 > 0 2 (1 - cos²(3????)) - 3 sin(3????) - 2 > 0 2 - 2 cos²(3????) - 3 sin(3????) - 2 > 0 -2 cos²(3????) - 3 sin(3????) > -2 2 cos²(3????) + 3 sin(3????) < 2 Os pontos em que a função seno se anula são aqueles em que a desigualdade se torna uma igualdade: 2 cos²(3????) + 3 sin(3????) = 2 Podemos substituir a função seno por sua identidade trigonométrica: 2 cos²(3????) + 3 (2 sin(3????/2) cos(3????/2)) = 2 2 cos²(3????) + 3 (2 √((1 - cos(3????))/2) cos(3????/2)) = 2 Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 2 cos²(3????): 1 + 3 (√((1 - cos(3????))/2) cos(3????/2)) / cos²(3????) = 1/cos²(3????) Podemos substituir a função tangente por sua identidade trigonométrica: 1 + 3 (2 √((1 - cos(3????))/2) sin(3????/2)) / (1 - sin²(3????/2)) = 1/(1 - sin²(3????/2)) Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por (1 - sin²(3????/2)): (1 - sin²(3????/2)) + 3 (2 √((1 - cos(3????))/2) sin(3????/2)) = 1 Podemos substituir a função seno por sua identidade trigonométrica: cos²(3????/2) + 3 (2 √((1 - cos(3????))/2) sin(3????/2)) = 1 Podemos substituir a função coseno por sua identidade trigonométrica: cos²(3????/2) + 3 (2 √((1 - cos(3????))/2) 2 sin(3????/4) cos(3????/4)) = 1 Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 4 cos(3????/4): cos(3????/4) + 3 √((1 - cos(3????))/2) sin(3????/4) / cos(3????/4) = 1/2 cos(3????/4) Podemos substituir a função tangente por sua identidade trigonométrica: cos(3????/4) + 3 √((1 - cos(3????))/2) √((1 + cos(3????/2))/2) / cos(3????/4) = 1/2 cos(3????/4) Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por 2 cos(3????/4): 2 cos(3????/4) + 3 √((1 - cos(3????))/2) √((1 + cos(3????/2))/2) = cos(3????/2) Podemos elevar ambos os lados ao quadrado: 4 cos²(3????/4) + 9 (1 - cos(3????))/2 (1 + cos(3????/2))/2 + 6 cos(3????/4) √((1 - cos(3????))/2) √((1 + cos(3????/2))/2) = cos²(3????/2) Podemos simplificar essa equação: 4 cos²(3????/4) + 9 (1 - cos(3????))(1 + cos(3????/2))/4 + 6 cos(3????/4) √((1 - cos(3????))(1 + cos(3????/2))) = cos²(3????/2) Podemos multiplicar ambos os lados por 4: 16 cos²(3????/4) + 9 (1 - cos(3????))(1 + cos(3????/2)) + 24 cos(3????/4) √((1 - cos(3????))(1 + cos(3????/2))) = 4 cos²(3????/2) Podemos simplificar essa equação: 16 cos²(3????/4) + 9 (1 - cos²(3????/2)) + 9 cos(3????)(1 - cos(3????/2)) + 24 cos(3????/4) √((1 - cos(3????))(1 + cos(3????/2))) = 4 cos²(3????/2) Podemos substituir a função coseno por sua identidade trigonométrica: 16 cos²(3????/4) + 9 sin²(3????/2) + 9 cos(3????)(1 - sin²(3????/2)) + 24 cos(3????/4) √((1 - cos(3????))(1 + cos(3????/2))) = 4 cos²(3????/2) Podemos substituir a função seno por sua identidade trigonométrica: 16 cos²(3????/4) + 9 (1 - cos²(3????/4)) + 9 cos(3????)(1 - (1 - cos(3????))/2) + 24 cos(3????/4) √((1 - cos(3????))(1 + (1 - cos(3????/2))/2)) = 4 cos²(3????/2) Podemos simplificar essa equação: 7 cos²(3????/4) + 9 cos(3????) - 6 cos(3????/4) √(2 - 2 cos(3????)) = 0 Podemos substituir a função coseno por sua identidade trigonométrica: 7 cos²(3????/4) + 9 cos(3????) - 6 cos(3????/4) √(2 sin²(3????/2)) = 0 Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por cos(3????/4): 7 cos(3????/4) + 9 √2 sin(3????/2) - 6 √2 sin²(3????/2) = 0 Podemos substituir a função seno por sua identidade trigonométrica: 7 cos(3????/4) + 9 √2 (2 sin(3????/4) cos(3????/4)) - 6 √2 (1 - cos²(3????/4)) = 0 Podemos substituir a função coseno por sua identidade trigonométrica: 7 cos(3????/4) + 9 √2 (2 sin(3????/4) √(1 - sin²(3????/4))) - 6 √2 (1 - sin²(3????/4)) = 0 Podemos simplificar essa equação: 7 cos(3????/4) + 18 sin(3????/4) - 6 = 0 Podemos isolar a função cosseno: cos(3????/4) = (6 - 18 sin(3????/4)) / 7 Podemos elevar ambos os lados ao quadrado: cos²(3????/4) = (36 - 216 sin(3????/4) + 324 sin²(3????/4)) / 49 Podemos substituir a função seno por sua identidade trigonométrica: cos²(3????/4) = (36 - 216 √((1 - cos²(3????/4))/2) + 324 (1 - cos²(3????/4))/2) / 49 Podemos simplificar essa equação: 98 cos²(3????/4) = 360 Podemos isolar a função cosseno: cos(3????/4) = ±√(360/98) Podemos simplificar essa expressão: cos(3????/4) = ±√(180/49) Podemos encontrar os valores de ???? que satisfazem essa equação: 3????/4 = arccos(±√(180/49)) + 2kπ ou 3????/4 = -arccos(±√(180/49)) + 2kπ Podemos resolver essas equações para encontrar os valores de ????: 3????/4 = arccos(√(180/49)) + 2kπ ou 3????/4 = arccos(-√(180/49)) + 2kπ 3????/4 = arccos(6/7) + 2kπ ou 3????/4 = π - arccos(6/7) + 2kπ ???? = (4 arccos(6/7) + 8kπ)/3 ou ???? = (4π - 4 arccos(6/7) + 8kπ)/3 No entanto, precisamos verificar se essas soluções satisfazem a desigualdade 0 ≤ ???? ≤ 2π/3. A única solução que satisfaz essa condição é ???? = (4 arccos(6/7))/3. Portanto, a solução da questão 1.c é ???? = (4 arccos(6/7))/3.