Para ????, ????, ????, ????, ????, ???? constantes reais e variável ???? ∈ ℝ, a função ???? pode ser definida por: ????(????) = {???? ln(???? + ????) ???????? − 2 < ???? ≤ −...

Vamos começar a resolver a questão. Sabemos que a reta de equação ???? = ???????? + ???? que está na definição da função ???? contém os pontos (−1, 0) e (0, 1). Portanto, podemos encontrar a equação da reta utilizando a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos: ???? − 0 = (1 - 0)/(0 - (-1)) (???? - (-1)) ???? = ???? + 1 Assim, temos que a equação da reta é ???? = ???? + 1. Sabemos também que o gráfico de ???? corta o eixo ???? em ????1 = −1 e ????2 = ln 2. Portanto, podemos encontrar os valores de ???? e ???? da seguinte forma: Para ???? = −1: ????(0) = ???? ln(0 + ????) 0 = −???? ln(1) 0 = 0 Para ???? = ln 2: ????(0) = ???? ln(0 + ????) 0 = ???? ln ???? 0 = ???? ln 2 ???? = 0 Agora, vamos encontrar o valor de ????: ????(−3/2) = − ln 2 ????(−3/2) = ???? ln(−3/2 + ????) − ln 2 = ???? ln(−1/2 + ????) ln(1/2 - ???? ) = ln 2 1/2 - ???? = 2 ???? = -3/2 Substituindo os valores encontrados na definição da função ????: Para −2 < ???? ≤ −1: ????(????) = ???? ln(???? + ????) ????(????) = − ln 2 ln(???? − 1/2) Para −1 < ???? < 0: ????(????) = ???? + ???? ????(????) = ???? − ???? + 1 Para 0 ≤ ???? < ∞: ????(????) = ????/(???? − ???? + ????) Agora, vamos responder as questões: (a) O valor de 5???? + 2???? + 2???? é: Substituindo as expressões para ????(????) em 5???? + 2???? + 2????, temos: 5(− ln 2 ln(???? − 1/2)) + 2(???? − ???? + 1) + 2(????/(???? − ???? + ????)) = −5 ln 2 ln(???? − 1/2) + 2???? − 2???? + 2 + 2????/(???? − ???? + ????) = −5 ln 2 ln(???? − 1/2) + 4 + 2????/(???? − ???? + ????) Portanto, a opção correta é a (c) 5a + 2b + 2c = 2. (b) O valor de 7???? − ???? − ???? é: Substituindo as expressões para ????(????) em 7???? − ???? − ????, temos: 7(− ln 2 ln(???? − 1/2)) − (???? + ????) = −7 ln 2 ln(???? − 1/2) − ???? − ???? + 2 Portanto, a opção correta é a (d) 7a - b - c = -5. (c) O valor de ????2 + ????2 − ???? é: Substituindo as expressões para ????(????) em ????2 + ????2 − ????, temos: (− ln 2 ln(???? − 1/2))2 + (???? − ???? + 1)2 − ????/(???? − ???? + ????) = ln2 4 ln2(???? − 1/2)2 + ????2 − 2???????? + ????2 − ????/(???? − ???? + ????) = ln2 4 ln2(???? − 1/2)2 + 2????2 − 2???????? − ????/(???? − ???? + ????) Portanto, a opção correta é a (e) a2 + b2 - c = ln2(???? − 1/2)2 + 2. Espero ter ajudado!