PC_2020-2_APX2_ENUNCIADO

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APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 10 
 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
APX2 
_________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,6 ponto ] TIPO 1 
 Considere que sen(𝜃) =
5
13
 e 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante. 
 Calcule cos(𝜃) e marque a opção correta em cada item. 
(a) O valor do sen(2𝜃) é igual a ___________________________ 
(b) O valor do cos(2𝜃) é igual a _________________________ 
(c) O ângulo 2𝜃 está no ______________________ 
(d) O valor de 
6
5
 tan(𝜋 − 𝜃) −
10
13
sec (
𝜋
2
− 𝜃) é igual a _______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 – 120/169 
Opção 2 119/169 
Opção 3 120/169 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 119/169 
Opção 2 – 120/169 
Opção 3 – 119/169 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 quarto quadrante 
Opção 2 primeiro quadrante 
Opção 3 segundo quadrante 
Opção 4 terceiro quadrante 
Opções de respostas para o item(d) 
Opção 1 – 3/2 
Opção 2 – 7/4 
Opção 3 – 1/2 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,6 ponto ] TIPO 2 
 Considere que cos(𝜃) =
12
13
 e 𝜃 é um ângulo do quarto quadrante. 
 Calcule sen(𝜃) e marque a opção correta em cada item. 
(a) O valor do sen(2𝜃) é igual a ____________________________ 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 10 
(b) O valor do cos(2𝜃) é igual a _________________________ 
(c) O ângulo 2𝜃 está no ______________________ 
(d) O valor de 
5
6
tan (
 𝜋
2
− 𝜃) −
3
13
sec (𝜋 − 𝜃) é igual a _______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 – 120/169 
Opção 2 119/169 
Opção 3 120/169 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 119/169 
Opção 2 – 120/169 
Opção 3 – 119/169 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 quarto quadrante 
Opção 2 primeiro quadrante 
Opção 3 segundo quadrante 
Opção 4 terceiro quadrante 
Opções de respostas para o item(d) 
Opção 1 – 7/4 
Opção 2 – 3/2 
Opção 3 – 1/2 
 
Questão 2 [0,4] TIPO 1 
 Considere a função 𝑓(𝑥) = tan (𝜋(𝑥 − 1)), 𝑥 ∈ ℝ. 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑓. 
(1) ℝ − {
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
7
2
, −
7
2
,
9
2
, −
9
2
, ⋯ } 
(2) ℝ − {
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
,
9
2
, ⋯ } 
(3) ℝ − {
𝜋
2
, −
𝜋
2
,
3𝜋
2
, −
3𝜋
2
,
5𝜋
2
, −
5𝜋
2
,
7𝜋
2
, −
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, −
9𝜋
2
, ⋯ } 
(4) ℝ − {
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, ⋯ } 
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 10 
Questão 2 [0,4] TIPO 2 
 Considere a função 𝑓(𝑥) = tan (𝜋(𝑥 + 1)), 𝑥 ∈ ℝ. 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑓. 
(1) ℝ − {
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
7
2
, −
7
2
,
9
2
, −
9
2
, ⋯ } 
(2) ℝ − {
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
,
9
2
, ⋯ } 
(3) ℝ − {
𝜋
2
, −
𝜋
2
,
3𝜋
2
, −
3𝜋
2
,
5𝜋
2
, −
5𝜋
2
,
7𝜋
2
, −
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, −
9𝜋
2
, ⋯ } 
(4) ℝ − {
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, ⋯ } 
 
Questão 3 [1,0] TIPO 1 
 Considere a equação 2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 e −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
 Ao simplificar essa equação encontramos uma equação equivalente. 
(a) Uma equação equivalente à equação dada é: ___________________ 
(b) A solução de 2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 é ____________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 (sen(𝑥) − 2)(2 sen(𝑥) − 1) = 0 
Opção 2 (sen(𝑥) + 2)(2 sen(𝑥) − 1) = 0 
Opção 3 (sen(𝑥) − 2)(2 sen(𝑥) + 1) = 0 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 𝑥 = −
11𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
Opção 2 𝑥 = −
5𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
Opção 3 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
4𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
2𝜋
3
 
Opção 4 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
3
 
 
Questão 3 [1,0] TIPO 2 
 Considere a equação 2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0. 
 Ao simplificar essa equação encontramos uma equação equivalente. 
 (a) Uma equação equivalente à equação dada é: ___________________ 
 (b) A solução de 2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 é ____________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 (cos(𝑥) + 2)(2 cos(𝑥) − 1) = 0 
Opção 2 (cos(𝑥) − 2)(2 cos(𝑥) + 1) = 0 
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Opção 3 (cos(𝑥) + 2)(2 cos(𝑥) + 1) = 0 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
3
 
Opção 2 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
4𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
2𝜋
3
 
Opção 3 𝑥 = −
11𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
Opção 4 𝑥 = −
5𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
 
Questão 4 [1,1] TIPO 1 
 Resolva a inequação (√3 − tan(𝑥))(2 − cos(2𝑥)) ≥ 0 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
 Escolha o intervalo ou união de intervalos que representa a solução da inequação. 
Opção 1 [0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 2 (0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 3 (0,
𝜋
3
) ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 4 [0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
5𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 5 (0,
𝜋
6
) ∪ (
𝜋
2
,
5𝜋
6
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
 
Questão 4 [1,1] TIPO 2 
 Resolva a inequação (√3 − 3tan(𝑥))(2 − sen(2𝑥)) ≥ 0 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
 Escolha o intervalo que representa a solução da inequação. 
Opção 1 [0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 2 (0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 3 (0,
𝜋
6
) ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 4 [0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 5 (0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
 
Questão 5 [0,8] TIPO 1 
 Considere 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑎𝑥+1
5
), onde 𝑎 é uma constante real, 𝑎 > 0 e 𝑥 ∈ ℝ. 
 Determine o valor de 𝑎 para que o domínio de 𝑓 seja o intervalo [−18,12]. 
 O valor de 𝑎 pertence a qual dos intervalos? 
Opção 1 [0,
1
2
] 
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Opção 2 (
1
2
, 1] 
Opção 3 (1, 4] 
 
 
Questão 5 [0,8] TIPO 2 
 Considere 𝑓(𝑥) = arccos (
𝑏𝑥−3
7
), onde 𝑏 é uma constante real e 𝑥 ∈ ℝ. 
 Determine o valor de 𝑏 para que o domínio de 𝑓 seja o intervalo [−8, 20]. 
 O valor de 𝑏 pertence a qual dos intervalos? 
Opção 1 [
1
3
, 1] 
Opção 2 (
1
2
, 1] 
Opção 3 (1,
3
2
] 
 
Questão 6 [2,1] TIPO 1 
 Para 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘 constantes reais e variável 𝑥 ∈ ℝ, 
 a função 𝑓 pode ser definida por: 
 
 
 𝑓(𝑥) = {
𝑎 ln(𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ −1
𝑐𝑥 + 𝑑 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 0
𝑚 𝑒−𝑥 + 𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < ∞
 
 
 
 
 Determine as constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘, se sabemos que: 
 
• O gráfico da função 𝑓 está esboçado acima. 
• 𝑓 (−
3
2
) = ln 2 
• A reta de equação 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 que está na definição da função 𝑓 contém os pontos (−1, 0) e (0, −1). 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = −1. 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = ln 2 
 
 Em cada item complete com a opção de resposta correta para a expressão. 
(a) O valor de 5𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 é ____________ 
(b) O valor de 7𝑎 − 𝑏 − 𝑑 é ____________ 
(c) O valor de 𝑚2 + 𝑘2 − 𝑚 é _____________ 
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Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 – 3 
Opção 2 11 
Opção 3 15 
Opções de respostas para o item(b)Opção 1 – 8 
Opção 2 4 
Opção 3 6 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 7 
Opção 2 3 
Opção 3 – 4 
 
Questão 6 [2,1] TIPO 2 
 Para 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘 constantes reais e variável 𝑥 ∈ ℝ, 
 a função 𝑓 pode ser definida por: 
 
 𝑓(𝑥) = {
𝑎 ln(𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ −1
𝑐𝑥 + 𝑑 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 0
𝑚 𝑒−𝑥 + 𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < ∞
 
 
 
 
 Determine as constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘, se sabemos que: 
 
• O gráfico da função 𝑓 está esboçado acima. 
• 𝑓 (−
3
2
) = − ln 2 
• A reta de equação 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 que está na definição da função 𝑓 contém os pontos (−1, 0) e (0, 1). 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 1. 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = ln 2 
 
 Em cada item complete com a opção de resposta correta para a expressão. 
(a) O valor de 5𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 é ____________ 
(b) O valor de 7𝑎 − 𝑏 − 𝑑 é ____________ 
(c) O valor de 𝑚2 + 𝑘2 − 𝑚 é _____________ 
 
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Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 11 
Opção 2 – 3 
Opção 3 4 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 4 
Opção 2 – 8 
Opção 3 – 4 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 3 
Opção 2 7 
Opção 3 – 2 
 
Questão 7 [1,4] TIPO 1 
 
 Considere a função 𝑔(𝑥) = ln(−1 + ln(𝑥2 − 1)) . 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑔 . 
 
OPÇÃO 1 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −√𝑒 + 1 ) ∪ ( √𝑒 + 1 , +∞) 
OPÇÃO 2 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( √𝑒 + 1 , +∞) 
OPÇÃO 3 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −1 ) ∪ ( 1, +∞) 
OPÇÂO 4 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( 1, +∞) 
 
Questão 7 [1,4] TIPO 2 
 Considere a função 𝑔(𝑥) = ln(−1 + ln(𝑥2 − 4)) . 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑔 . 
 
OPÇÃO 1 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −√𝑒 + 4 ) ∪ ( √𝑒 + 4 , + ∞) 
OPÇÃO 2 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( √𝑒 + 4 , + ∞) 
OPÇÃO 3 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −2 ) ∪ (2, + ∞) 
OPÇÂO 4 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( 2, + ∞) 
 
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 8 de 10 
Questão 8 [1,6] TIPO 1 
 Considere a função ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 , onde 𝑎 é constante real, 𝑎 > 1, 𝑥 ∈ ℝ. 
 Esboce um possível gráfico para 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥. 
 Sabendo que o gráfico de ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 é obtido através de transformações no gráfico da 
 função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 , identifique o único possível gráfico da função ℎ, dentre os cinco gráficos 
 esboçados abaixo. 
 GRÁFICO 1 GRÁFICO 2 GRÁFICO 3 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO 4 GRÁFICO 5 
 
 
 
 
 
 
 (a) A opção correta para o possível gráfico da função ℎ é ___________________ 
 (b) Uma primeira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que como 𝑎 > 1, 
 o gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é _______________ 
(c) Uma segunda justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que 
a interseção do gráfico com o eixo 𝑥 ocorre em _______________________ 
 (d) Uma terceira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que ______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
OPÇÃO 1 GRÁFICO 3 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 9 de 10 
OPÇÃO 2 GRÁFICO 1 
OPÇÃO 3 GRÁFICO 2 
OPÇÃO 4 GRÁFICO 4 
OPÇÃO E GRÁFICO 5 
Opções de respostas para o item(b) 
OPÇÃO 1 crescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 2 decrescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 3 crescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 3 decrescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
Opções de respostas para o item(c) 
OPÇÃO 1 x = (ln (2)-ln (3)) / a 
OPÇÃO 2 x = ln (2) / (a ln (3) ) 
Opções de respostas para o item(d) 
OPÇÃO 1 o gráfico da função ℎ não corta a reta de equação 𝑦 = −2 e está situado acima dessa reta. 
OPÇÃO 2 ℎ(𝑥) = −2 para algum valor de 𝑥 ∈ ℝ. 
 
Questão 8 [1,6] TIPO 2 
 Considere a função ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥, onde 𝑎 é constante real, 𝑎 > 1, 𝑥 ∈ ℝ. 
 Esboce um possível gráfico para 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥. 
 Sabendo que o gráfico de ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 é obtido através de transformações no gráfico da 
 função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 , identifique o único possível gráfico da função ℎ, dentre os cinco gráficos 
 esboçados abaixo. 
 GRÁFICO 1 GRÁFICO 2 GRÁFICO 3 
 
 
 
 
 
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 10 de 10 
GRÁFICO 4 GRÁFICO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) A opção correta para o possível gráfico da função ℎ é ___________________ 
 (b) Uma primeira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que como 𝑎 > 1 , 
 o gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é _______________ 
 (c) Uma segunda justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que 
 a interseção do gráfico com o eixo 𝑥 ocorre em _______________________ 
 (d) Uma terceira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que ______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
OPÇÃO 1 GRÁFICO 2 
OPÇÃO 2 GRÁFICO 1 
OPÇÃO 3 GRÁFICO 3 
OPÇÃO 4 GRÁFICO 4 
OPÇÃO 5 GRÁFICO 5 
Opções de respostas para o item(b) 
OPÇÃO 1 é crescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 2 é decrescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 3 é crescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 4 é decrescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
Opções de respostas para o item(c) 
OPÇÃO 1 x = (ln (3)-ln (4)) / a 
OPÇÃO 2 x = ln (3) / (a ln (4) ) 
Opções de respostas para o item(d) 
OPÇÃO 1 o gráfico da função ℎ não corta a reta de equação 𝑦 = −3 e está situado acima dessa reta 
OPÇÃO 2 ℎ(𝑥) = −3 para algum valor de 𝑥 ∈ ℝ