3) Um teste de múltipla escolha contém 25 questões, cada uma com quatro respostas. Suponha que um estudante apenas tente adivinhar cada questão. ...

a) A probabilidade de que o estudante responda mais de 20 questões corretamente é de 9,677x10^-10. Para calcular essa probabilidade, podemos usar a distribuição binomial. Nesse caso, temos n = 25 (número de questões), p = 1/4 (probabilidade de acertar cada questão, já que há 4 alternativas) e q = 3/4 (probabilidade de errar cada questão). A probabilidade de acertar exatamente k questões em um teste com n questões é dada pela fórmula: P(X = k) = (n! / (k! * (n - k)!)) * p^k * q^(n-k) Para calcular a probabilidade de que o estudante responda mais de 20 questões corretamente, precisamos somar as probabilidades de acertar 21, 22, 23, 24 e 25 questões: P(X > 20) = P(X = 21) + P(X = 22) + P(X = 23) + P(X = 24) + P(X = 25) P(X > 20) = [(25! / (21! * 4!)) * (1/4)^21 * (3/4)^4] + [(25! / (22! * 3!)) * (1/4)^22 * (3/4)^3] + [(25! / (23! * 2!)) * (1/4)^23 * (3/4)^2] + [(25! / (24! * 1!)) * (1/4)^24 * (3/4)^1] + [(25! / (25! * 0!)) * (1/4)^25 * (3/4)^0] P(X > 20) = 9,677x10^-10 Portanto, a probabilidade de que o estudante responda mais de 20 questões corretamente é de 9,677x10^-10. b) A probabilidade de que o estudante responda menos de cinco questões corretamente é de 0,2137. Para calcular essa probabilidade, podemos usar a distribuição binomial novamente. Nesse caso, temos n = 25, p = 1/4 e q = 3/4. A probabilidade de acertar no máximo k questões em um teste com n questões é dada pela fórmula: P(X ≤ k) = Σ(i=0 até k) [(n! / (i! * (n - i)!)) * p^i * q^(n-i)] Para calcular a probabilidade de que o estudante responda menos de cinco questões corretamente, precisamos somar as probabilidades de acertar 0, 1, 2, 3 e 4 questões: P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) P(X < 5) = [(25! / (0! * 25!)) * (1/4)^0 * (3/4)^25] + [(25! / (1! * 24!)) * (1/4)^1 * (3/4)^24] + [(25! / (2! * 23!)) * (1/4)^2 * (3/4)^23] + [(25! / (3! * 22!)) * (1/4)^3 * (3/4)^22] + [(25! / (4! * 21!)) * (1/4)^4 * (3/4)^21] P(X < 5) = 0,2137 Portanto, a probabilidade de que o estudante responda menos de cinco questões corretamente é de 0,2137.