Prove que (?⃗? − 2???? + ?⃗⃗? , 2?⃗? + ???? + 3?⃗⃗? , ?⃗? + 8???? + 2?⃗⃗? ) é LD quaisquer que sejam os vetores ?⃗? , ???? ⃗⃗⃗ e ?⃗⃗? .

Para provar que os vetores (?⃗? − 2???? + ?⃗⃗? , 2?⃗? + ???? + 3?⃗⃗? , ?⃗? + 8???? + 2?⃗⃗? ) são LD, precisamos encontrar uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo. Sejam os escalares a, b e c, então temos: a(?⃗? − 2???? + ?⃗⃗?) + b(2?⃗? + ???? + 3?⃗⃗?) + c(?⃗? + 8???? + 2?⃗⃗?) = ?⃗0 Expandindo a equação, temos: (a - 2b + c)?⃗? + (2a + b + 8c)???? + (a + 3b + 2c)?⃗⃗? = ?⃗0 Para que essa equação seja verdadeira, precisamos que os coeficientes de cada vetor sejam iguais a zero: a - 2b + c = 0 2a + b + 8c = 0 a + 3b + 2c = 0 Podemos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana ou outra técnica de álgebra linear. Ao fazer isso, encontramos que a solução é: a = -2b c = b a = -4c Substituindo esses valores na equação original, temos: -2b(?⃗? − 2???? + ?⃗⃗?) + b(2?⃗? + ???? + 3?⃗⃗?) + b(?⃗? + 8???? + 2?⃗⃗?) = ?⃗0 Simplificando, temos: (-2?⃗? + 2?⃗? + ?⃗?) + (-4???? + ???? + 8????) + (2?⃗⃗? + 3?⃗⃗? + 2?⃗⃗?) = ?⃗0 Que pode ser reescrita como: ?⃗? + 5???? + 7?⃗⃗? = ?⃗0 Portanto, podemos concluir que os vetores (?⃗? − 2???? + ?⃗⃗? , 2?⃗? + ???? + 3?⃗⃗? , ?⃗? + 8???? + 2?⃗⃗? ) são LD para quaisquer vetores ?⃗? , ???? ⃗⃗⃗ e ?⃗⃗? .