3. Sejam f e g funções cont́ınuas em [−2; 5] tais que limx→−2+ f(x) = 7, limx→−2+ g(x) = 2, limx→5− f(x) = 4 e limx→5− g(x) = 5.
(a) Calcule limx...

Question

3. Sejam f e g funções cont́ınuas em [−2; 5] tais que limx→−2+ f(x) = 7, limx→−2+ g(x) = 2, limx→5− f(x) = 4 e limx→5− g(x) = 5.
(a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
(b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
(c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).

Ed · Answer

(a) Para calcular o limite de limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5, podemos usar a regra de L'Hôpital. Temos:

limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5 = limx→5− (g2(x) − 25)/(g(x) − 5)

Aplicando a regra de L'Hôpital, temos:

limx→5− (g2(x) − 25)/(g(x) − 5) = limx→5− 2g(x)/g'(x) = 2(5)/g'(5) = 10/g'(5)

(b) Para calcular (g - f)(-2), temos:

(g - f)(-2) = g(-2) - f(-2)

Usando os limites dados, temos:

(g - f)(-2) = 2 - 7 = -5

Para calcular (g - f)(5), temos:

(g - f)(5) = g(5) - f(5)

Usando os limites dados, temos:

(g - f)(5) = 5 - 4 = 1

(c) Usando o item (b), temos que (g - f)(-2) = -5 e (g - f)(5) = 1. Pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos um ponto c ∈ [-2, 5] tal que (g - f)(c) = 0, ou seja, g(c) = f(c). Portanto, existe c ∈ [-2, 5] tal que f(c) = g(c).

3. Sejam f e g funções cont́ınuas em [−2; 5] tais que limx→−2+ f(x) = 7, limx→−2+ g(x) = 2, limx→5− f(x) = 4 e limx→5− g(x) = 5. (a) Calcule limx...

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