Dada a função f(x) = { x+ 2c, x < −2, 3cx+ k, −2 ≤ x ≤ 1, 3x− 2k, x > 1, ache os valores de c e k, de modo que ela seja cont́ınua em -2 e em 1...

Para que a função seja contínua em -2, precisamos que o limite da função quando x se aproxima de -2 pela esquerda seja igual ao limite da função quando x se aproxima de -2 pela direita. Assim, temos que: lim x→-2- f(x) = lim x→-2- (x + 2c) = -2 + 2c lim x→-2+ f(x) = lim x→-2+ (3cx + k) = -6c + k Para que a função seja contínua em -2, precisamos que -2 + 2c = -6c + k. Resolvendo essa equação, temos: 8c = k - 2 Agora, para que a função seja contínua em 1, precisamos que o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao limite da função quando x se aproxima de 1 pela direita. Assim, temos que: lim x→1- f(x) = lim x→1- (3cx + k) = 3c + k lim x→1+ f(x) = lim x→1+ (3x - 2k) = 3 - 2k Para que a função seja contínua em 1, precisamos que 3c + k = 3 - 2k. Resolvendo essa equação, temos: 5k = 3 - 3c Substituindo k em termos de c na primeira equação, temos: 8c = (3 - 3c) - 2 11c = 1 c = 1/11 Substituindo c em termos de k na segunda equação, temos: 5k = 3 - 3(1/11) k = 24/11 Portanto, os valores de c e k que fazem a função ser contínua em -2 e em 1 são c = 1/11 e k = 24/11. Para verificar se a função é contínua em todos os reais, precisamos verificar se ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Como a função é definida para todos os reais, basta verificar se ela é contínua em -2 e em 1. Como já verificamos que ela é contínua nesses pontos, podemos concluir que ela é contínua em todos os reais.