f(x) =
{
x+ 2c, x < −2,
3cx+ k, −2 ≤ x ≤ 1,
3x− 2k, x > 1,
ache os valores de c e k, de modo que ela seja cont́ınua em -2 e em 1.
Para os valores de c e k encontrados, a função é cont́ınua em todos os
reais?
Respostas
Ed 
há 2 anos
Para que a função seja contínua em -2, precisamos que o limite da função quando x se aproxima de -2 pela esquerda seja igual ao limite da função quando x se aproxima de -2 pela direita. Assim, temos que: lim x→-2- f(x) = lim x→-2- (x + 2c) = -2 + 2c lim x→-2+ f(x) = lim x→-2+ (3cx + k) = -6c + k Para que a função seja contínua em -2, precisamos que -2 + 2c = -6c + k. Resolvendo essa equação, temos: 8c = k - 2 Agora, para que a função seja contínua em 1, precisamos que o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao limite da função quando x se aproxima de 1 pela direita. Assim, temos que: lim x→1- f(x) = lim x→1- (3cx + k) = 3c + k lim x→1+ f(x) = lim x→1+ (3x - 2k) = 3 - 2k Para que a função seja contínua em 1, precisamos que 3c + k = 3 - 2k. Resolvendo essa equação, temos: 5k = 3 - 3c Substituindo k em termos de c na primeira equação, temos: 8c = (3 - 3c) - 2 11c = 1 c = 1/11 Substituindo c em termos de k na segunda equação, temos: 5k = 3 - 3(1/11) k = 24/11 Portanto, os valores de c e k que fazem a função ser contínua em -2 e em 1 são c = 1/11 e k = 24/11. Para verificar se a função é contínua em todos os reais, precisamos verificar se ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Como a função é definida para todos os reais, basta verificar se ela é contínua em -2 e em 1. Como já verificamos que ela é contínua nesses pontos, podemos concluir que ela é contínua em todos os reais.
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2. (a) Obtenha uma equação para a reta tangente à curva xy = yx, no ponto em que x = 1.
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5. Através das derivadas, estude o que for importante e faça o gráfico de y = 2x2/9− x2.
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2. Calcule os seguinte limites:
(a) limx→0 tg(x− π)/senx;
(b) limx→∞ (x3 + 2x)2/(2x− 1)3 · (x3 − 1);
(c) limx→π/2 2tgx− secx+ cosx/cosx.
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3. Sejam f e g funções cont́ınuas em [−2; 5] tais que limx→−2+ f(x) = 7, limx→−2+ g(x) = 2, limx→5− f(x) = 4 e limx→5− g(x) = 5.
(a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
(b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
(c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
2. Sabendo-se que f ′(x) = 3x2 e que a reta y = 3x é tangente ao gráfico de f em algum ponto, encontre f(x). Observação: Você poderá encontrar mais de uma função com essas caracteŕısticas.
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