(a) Mostre que a função f(x) = √ 4− x2 é cont́ınua no intervalo fechado [−2, 2]. (b) Se f(x) = x3−5x2 +7x−9, use o Teorema do Valor Intermediár...

(a) Para mostrar que a função f(x) = √(4 - x²) é contínua no intervalo fechado [-2, 2], precisamos verificar se ela é contínua em todos os pontos do intervalo e nos pontos extremos. Primeiro, observe que a função é definida apenas para x entre -2 e 2, pois o radicando não pode ser negativo. Além disso, a função é simétrica em relação ao eixo y, o que significa que podemos limitar nossa análise ao intervalo [0, 2]. Agora, para mostrar que a função é contínua em todos os pontos do intervalo [0, 2], podemos usar o fato de que a raiz quadrada é uma função contínua e que a soma, diferença, produto e composição de funções contínuas também é contínua. Assim, podemos escrever: f(x) = √(4 - x²) = 2√(1 - (x/2)²) Observe que a função dentro da raiz quadrada é uma função quadrática, que é contínua em todos os pontos. Além disso, a função raiz quadrada é contínua em todos os pontos onde o radicando é não negativo. Portanto, a função f(x) é contínua em todos os pontos do intervalo [0, 2]. Para verificar se a função é contínua nos pontos extremos -2 e 2, podemos usar o fato de que a função é simétrica em relação ao eixo y. Assim, basta mostrar que a função é contínua em x = 0. Podemos fazer isso usando o mesmo argumento acima, já que a função é definida em um intervalo aberto em torno de x = 0. Portanto, concluímos que a função f(x) = √(4 - x²) é contínua no intervalo fechado [-2, 2]. (b) Para usar o Teorema do Valor Intermediário e provar que existe um número real tal que f(x) = 100, precisamos mostrar que a função f(x) é contínua em algum intervalo que contenha um ponto onde f(x) é menor que 100 e outro ponto onde f(x) é maior que 100. Observe que f(0) = -9 e f(4) = 23, então f(x) assume todos os valores entre -9 e 23 em algum ponto do intervalo [0, 4]. Além disso, f(x) é uma função polinomial, que é contínua em todos os pontos. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário e concluir que existe um número real c no intervalo [0, 4] tal que f(c) = 100.