(a) Sabemos que se f é cont́ınua em [a, b] e se m ≤ f(x) ≤M , então m(b− a) ≤ ∫ b a f(x)dx ≤M(b− a). Com base nessa propriedade, mostre que 2 ≤ ∫...

Para mostrar que 2 ≤ ∫ 1 -1 √(1 + x²)dx ≤ 2√2, podemos usar a propriedade dada no enunciado. Primeiro, observe que a função f(x) = √(1 + x²) é contínua em [-1, 1]. Além disso, podemos encontrar os valores mínimo e máximo de f(x) no intervalo [−1, 1]: m = f(-1) = √2 M = f(1) = √2 Substituindo esses valores na propriedade dada, temos: √2(1 - (-1)) ≤ ∫ -1 1 √(1 + x²)dx ≤ √2(1 - (-1)) 2√2 ≤ ∫ -1 1 √(1 + x²)dx ≤ 2√2 Portanto, 2 ≤ ∫ -1 1 √(1 + x²)dx ≤ 2√2. Para a segunda parte da questão, podemos usar a fórmula de integração por partes para encontrar f(x) a partir de f'(x): f'(x) = 1/√(1 - x²) + 1/x - 2sen(x) Vamos escolher u = √(1 - x²) e dv/dx = 1/x - 2sen(x)dx. Então, temos: du/dx = -x/√(1 - x²) v(x) = ln|x| + 2cos(x) Usando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ f'(x)dx = f(x) = u(x)v(x) - ∫ v(x)du/dx dx = √(1 - x²)(ln|x| + 2cos(x)) + ∫ (x/√(1 - x²))(ln|x| + 2cos(x))dx Podemos integrar a segunda parte usando integração por partes novamente, escolhendo u = ln|x| + 2cos(x) e dv/dx = x/√(1 - x²)dx. Então, temos: du/dx = -2sen(x) v(x) = -√(1 - x²) Usando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ (x/√(1 - x²))(ln|x| + 2cos(x))dx = -(ln|x| + 2cos(x))√(1 - x²) + ∫ √(1 - x²)(2sen(x) - x/√(1 - x²) * 2sen(x))dx = -(ln|x| + 2cos(x))√(1 - x²) + 2∫ sen(x)√(1 - x²)dx A última integral pode ser resolvida usando a substituição trigonométrica x = sen(θ): ∫ sen(x)√(1 - x²)dx = ∫ sen(θ)cos²(θ)dθ = ∫ (1 - sen²(θ))cos(θ)sen(θ)dθ = 1/2 ∫ (sen(2θ) - sen⁴(θ))d(sen(θ)) = 1/2 (cos(2θ)/2 - cos⁴(θ)/4) + C = 1/4 (2cos²(θ) - cos⁴(θ)) + C = 1/4 (2 - (2 - sen²(θ))²) + C = 1/4 (sen²(θ)) + C = 1/4 (1 - x²)^(1/2) + C Substituindo essa integral na expressão para f(x), temos: f(x) = √(1 - x²)(ln|x| + 2cos(x)) - (ln|x| + 2cos(x))√(1 - x²) + 1/2(1 - x²)^(3/2) + C Usando a condição f(1) = 0, podemos encontrar o valor de C: 0 = √(1 - 1²)(ln|1| + 2cos(1)) - (ln|1| + 2cos(1))√(1 - 1²) + 1/2(1 - 1²)^(3/2) + C C = -√2ln(2) + 2√2 Portanto, a função f(x) é: f(x) = √(1 - x²)(ln|x| + 2cos(x)) - (ln|x| + 2cos(x))√(1 - x²) + 1/2(1 - x²)^(3/2) - √2ln(2) + 2√2