Sejam os pontos ( )1, 3M − , ( )3, 2N e ( )2, 4P − . Mostrar que MNP é um triângulo isósceles.

Para mostrar que MNP é um triângulo isósceles, precisamos verificar se dois de seus lados possuem o mesmo comprimento. Vamos calcular a distância entre os pontos M e N: d(M,N) = √[(3-(-1))^2 + (2N-3)^2] = √[(4)^2 + (2N-3)^2] = √[16 + 4N^2 - 12N + 9] = √[4N^2 - 12N + 25] Agora, vamos calcular a distância entre os pontos N e P: d(N,P) = √[(2-3)^2 + (4P-2N)^2] = √[1 + 16P^2 - 16PN + 4N^2] = √[16P^2 - 16PN + 4N^2 + 1] Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos P e M: d(P,M) = √[(1-2)^2 + (3M-4P)^2] = √[1 + 9M^2 - 24MP + 16P^2] = √[9M^2 - 24MP + 17P^2 + 1] Agora, precisamos verificar se duas dessas distâncias são iguais. Vamos comparar d(M,N) e d(N,P): 4N^2 - 12N + 25 = 16P^2 - 16PN + 4N^2 + 1 12N - 16PN + 16P^2 - 24 = 0 4(3N - 4P)^2 = 16 (3N - 4P)^2 = 4 3N - 4P = ±2 Agora, vamos comparar d(N,P) e d(P,M): 16P^2 - 16PN + 4N^2 + 1 = 9M^2 - 24MP + 17P^2 + 1 4N^2 - 16PN + 16P^2 - 9M^2 + 24MP = 0 (2N - 4P + 3M)(2N - 4P - 3M) = 0 Portanto, temos duas equações: 3N - 4P = ±2 (2N - 4P + 3M)(2N - 4P - 3M) = 0 Se 3N - 4P = 2, então 3N - 4P ≠ -2. Portanto, precisamos verificar apenas a primeira equação. Se 3N - 4P = 2, então 2N - 4P = -1, e substituindo na segunda equação, temos: (-M)(-3M) = 0 3M^2 = 0 M = 0 Portanto, se M = 0, então 2N - 4P = -1 e 3N - 4P = 2, o que implica em N = 2 e P = 1. Substituindo esses valores na equação 4N^2 - 12N + 25 = 16P^2 - 16PN + 4N^2 + 1, temos: 4(2)^2 - 12(2) + 25 = 16(1)^2 - 16(2)(2) + 4(2)^2 + 1 4 = 4 Portanto, as distâncias d(M,N) e d(N,P) são iguais, o que significa que MNP é um triângulo isósceles.