(IME 1997) Determinar o resto da divisão do polinômio ( )cos nx senϕ ϕ+ ⋅ por ( )2 1x + , onde n∈ . Determinar o resto da divisão do polinômio ( ...

Para determinar o resto da divisão do polinômio (cos(nx)sen(ϕ)+ϕ) por (2x+1), podemos utilizar o método da divisão de polinômios. Começamos dividindo o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, ou seja, dividimos (cos(nx)sen(ϕ)) por 2x. O resultado é zero, pois não há termos no dividendo que possam ser divididos por 2x. Em seguida, multiplicamos o divisor (2x+1) pelo quociente encontrado (0), obtendo 0 como resultado. Subtraímos 0 do dividendo original, obtendo o próprio dividendo. Agora, dividimos o termo de maior grau do novo dividendo (cos(nx)sen(ϕ)+ϕ) pelo termo de maior grau do divisor (2x), obtendo como quociente (1/2)cos(nx)sen(ϕ)+ (1/4)ϕ. Multiplicamos o divisor pelo quociente encontrado, obtendo (cos(nx)sen(ϕ)+ϕ)/2 como resultado parcial. Subtraindo (cos(nx)sen(ϕ)+ϕ)/2 do dividendo original, obtemos o resto da divisão, que é (ϕ-2(cos(nx)sen(ϕ)))/4x + 1/2. Portanto, o resto da divisão do polinômio (cos(nx)sen(ϕ)+ϕ) por (2x+1) é (ϕ-2(cos(nx)sen(ϕ)))/4x + 1/2.