03. Nos problemas a seguir, calcule o limite: a. ( ) ( ), 0,0 cos cos lim 3x yx y x y e e−→ + + b. 2 2 21 2 0 lim 4x y z xyz x y z x y z→− → → − ...

a. Para calcular o limite, podemos usar a regra de L'Hôpital. Derivando em relação a x e y, temos: lim (3x + y)cos(x)cos(y) / (e^(x+y) - 1) x,y → 0,0 Derivando em relação a x, temos: lim (-3sin(x)cos(y) + 3cos(x)sin(y))cos(x)cos(y) / (e^(x+y) - 1) x,y → 0,0 Derivando em relação a y, temos: lim (-3cos(x)sin(y) + 3sin(x)cos(y))cos(x)cos(y) / (e^(x+y) - 1) x,y → 0,0 Agora, substituindo x = y = 0, temos: lim 0 / 0 x,y → 0,0 Podemos usar novamente a regra de L'Hôpital. Derivando em relação a x e y, temos: lim (-3sin(x)cos(y) + 3cos(x)sin(y))(-sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)) / (e^(x+y)) x,y → 0,0 Derivando em relação a x, temos: lim (-3cos(x)cos(y) - 3sin(x)sin(y))(-sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)) / (e^(x+y)) x,y → 0,0 Derivando em relação a y, temos: lim (-3sin(x)sin(y) - 3cos(x)cos(y))(-sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)) / (e^(x+y)) x,y → 0,0 Agora, substituindo x = y = 0, temos: lim 0 / 1 x,y → 0,0 Portanto, o limite é igual a 0. b. Para calcular o limite, podemos usar a regra de L'Hôpital. Derivando em relação a x, y e z, temos: lim (4xyz^2) / (x^2 + y^2 + z^2)^2 x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a x, temos: lim (4yz^2) / 4x(x^2 + y^2 + z^2) x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a y, temos: lim (4xz^2) / 4y(x^2 + y^2 + z^2) x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a z, temos: lim (8xyz) / 4z(x^2 + y^2 + z^2) x,y,z → 0,0,0 Agora, substituindo x = y = z = 0, temos: lim 0 / 0 x,y,z → 0,0,0 Podemos usar novamente a regra de L'Hôpital. Derivando em relação a x, y e z, temos: lim (8yz) / (2x(x^2 + y^2 + z^2) + 4x^3) x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a y, temos: lim (8xz) / (2y(x^2 + y^2 + z^2) + 4y^3) x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a z, temos: lim (8xy) / (2z(x^2 + y^2 + z^2) + 4z^3) x,y,z → 0,0,0 Agora, substituindo x = y = z = 0, temos: lim 0 / 0 x,y,z → 0,0,0 Podemos usar novamente a regra de L'Hôpital. Derivando em relação a x, y e z, temos: lim 8 / (2(x^2 + y^2 + z^2) + 12x^2) x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a y, temos: lim 8 / (2(x^2 + y^2 + z^2) + 12y^2) x,y,z → 0,0,0 Derivando em relação a z, temos: lim 8 / (2(x^2 + y^2 + z^2) + 12z^2) x,y,z → 0,0,0 Agora, substituindo x = y = z = 0, temos: lim 8 / 0 x,y,z → 0,0,0 Portanto, o limite não existe.