Nos exercícios abaixo, verifique se o limite indicado existe, caso exista determine o seu valor: a. ; xsen xlim 0x→ b. ; xcos1 xlim 2 0x −→ c. t se...

a. Para calcular o limite de x * sen(x) quando x se aproxima de 0, podemos usar a regra de L'Hôpital. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, obtemos: lim x * sen(x) = lim (sen(x) + x * cos(x)) / 1 = 0 + 1 * cos(0) = 1. Portanto, o limite existe e é igual a 1. b. Para calcular o limite de x * cos(1/x) quando x se aproxima de 0, podemos usar a regra de L'Hôpital novamente. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, obtemos: lim x * cos(1/x) = lim cos(1/x) - (1/x) * sen(1/x) / 1 = cos(0) - 0 = 1. Portanto, o limite existe e é igual a 1. c. Para calcular o limite de t * sen(t) quando t se aproxima de π, podemos usar a regra de L'Hôpital mais uma vez. Derivando o numerador e o denominador em relação a t, obtemos: lim t * sen(t) = lim sen(t) + t * cos(t) / 1 = 0 + π * (-1) = -π. Portanto, o limite existe e é igual a -π. d. Para calcular o limite de x^2 * sen(x/5) quando x se aproxima de 0, podemos usar a regra de L'Hôpital novamente. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, obtemos: lim x^2 * sen(x/5) = lim 2x * sen(x/5) + x^2 * (1/5) * cos(x/5) / 1 = 0 + 0 = 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0. e. Para calcular o limite de x * sen(x) / (x + cos(x)) quando x se aproxima de 0, podemos usar a regra de L'Hôpital mais uma vez. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, obtemos: lim x * sen(x) / (x + cos(x)) = lim sen(x) + x * cos(x) / 1 - sen(x) / (-sin(x)) = 0 + 1 / 1 = 1. Portanto, o limite existe e é igual a 1. f. Para calcular o limite de 2t^2 * cos(t) quando t se aproxima de π, podemos usar a regra de L'Hôpital novamente. Derivando o numerador e o denominador em relação a t, obtemos: lim 2t^2 * cos(t) = lim 4t * cos(t) - 2t^2 * sen(t) / 1 = -4π. Portanto, o limite existe e é igual a -4π. g. Para calcular o limite de x * sen(x) * cos(x) quando x se aproxima de 0, podemos usar a regra de L'Hôpital mais uma vez. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, obtemos: lim x * sen(x) * cos(x) = lim sen(x) * cos(x) + x * (cos^2(x) - sen^2(x)) / 1 = 0 + 1. Portanto, o limite existe e é igual a 1.