Considere o movimento de queda de um corpo em meio viscoso. O corpo está submetido à ação da força peso (P) e a uma força de resistência do ...

Question

Considere o movimento de queda de um corpo em meio viscoso. O corpo está submetido à ação da força peso (P) e a uma força de resistência do ar, ou força de arrasto, Fa, oposta ao seu deslocamento e que é maior quanto maior velocidade do corpo. Considere o modelo: Fa = bv onde b é o ”coeficiente de arrasto”, ele depende das caracteŕısticas do corpo (rugosidade e seção), e é estudado para diferentes corpos. Este modelo é válido para bai- xas velocidades quando o escoamento do fluido ao redor do corpo é laminar (ver comentários em sala e os v́ıdeos acima com respeito aos carros).
a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo em queda livre com resistência do ar.
b) Resolva a equação diferencial obtida no item anterior para obter a velocidade como função do tempo.
c) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo em queda livre com resistência do ar e com força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade.
d) Resolva a equação diferencial obtida no item anterior para obter a velocidade como função do tempo.

Ed · Answer

a) A equação diferencial que descreve o movimento do corpo em queda livre com resistência do ar é dada por: m(dv/dt) = P - bv, onde m é a massa do corpo, v é a velocidade, t é o tempo, P é a força peso e bv é a força de arrasto.

b) Para resolver a equação diferencial, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados. Temos:

m(dv/dt) = P - bv
m(dv/(P-bv)) = dt
Integrando ambos os lados, temos:
-1/b ln(P-bv) = t + C
onde C é a constante de integração. Resolvendo para v, temos:
v = (P/b) - Ce^(-bt/m)

c) A equação diferencial que descreve o movimento do corpo em queda livre com resistência do ar e com força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade é dada por: m(dv/dt) = P - bv^2, onde m é a massa do corpo, v é a velocidade, t é o tempo, P é a força peso e bv^2 é a força de arrasto.

d) Para resolver a equação diferencial, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados. Temos:

m(dv/dt) = P - bv^2
m(dv/(P-bv^2)) = dt
Integrando ambos os lados, temos:
(1/2b) ln((P+bv)/(P-bv)) = t + C
onde C é a constante de integração. Resolvendo para v, temos:
v = sqrt(P/b) * tanh(sqrt(Pb/m) * (t+C))

Considere o movimento de queda de um corpo em meio viscoso. O corpo está submetido à ação da força peso (P) e a uma força de resistência do ...

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