Sejam E = (→e1,→e2,→e3) e F = (→f1,→f2,→f3) duas bases. Se →f1= (1, 0, 2)E , →f2= (0,−1, 1)E , →f3= (3, 1, 0)E e →u= (−1, 2, 1)F , determine as coo...

Para determinar as coordenadas de →u em relação à base E, precisamos encontrar a combinação linear de →e1, →e2 e →e3 que resulta em →u. Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de →u em relação à base F. Para isso, precisamos encontrar a combinação linear de →f1, →f2 e →f3 que resulta em →u. -(-1)→f1 + 2→f2 + 1→f3 = (-1, 2, 1) Assim, as coordenadas de →u em relação à base F são (-1, 2, 1). Agora, vamos encontrar as coordenadas de →u em relação à base E. Para isso, precisamos encontrar a combinação linear de →e1, →e2 e →e3 que resulta em →u. Vamos montar um sistema de equações com as coordenadas de →u em relação à base E: a1→e1 + a2→e2 + a3→e3 = (-1, 2, 1) Substituindo as coordenadas de →e1, →e2 e →e3 em relação à base F: a1(1, 0, 2)F + a2(0, -1, 1)F + a3(3, 1, 0)F = (-1, 2, 1) Podemos reescrever essa equação em relação à base canônica: a1(1, 0, 2) + a2(0, -1, 1) + a3(3, 1, 0) = (-1, 2, 1) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: a1 + 3a3 = -1 -a2 + a3 = 2 2a1 + a2 = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos as coordenadas de →u em relação à base E: a1 = -1/5 a2 = 7/5 a3 = 2/5 Portanto, as coordenadas de →u em relação à base E são (-1/5, 7/5, 2/5).