Considere que em relação a uma base ortonormal −−→AB = (1, 2, 1) e −→AC = (2, 1, 2). a) Determine a área do triângulo 4ABC. b) Determine a altu...

Para determinar a área do triângulo 4ABC, podemos utilizar o produto vetorial entre os vetores AB e AC. AB x AC = (1, 2, 1) x (2, 1, 2) = (-3, 3, -3) O módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo formado pelos vetores AB e AC, que é a metade da área do triângulo 4ABC. Então: |AB x AC| = √((-3)² + 3² + (-3)²) = 3√3 Logo, a área do triângulo 4ABC é: A = (1/2) * |AB x AC| = (1/2) * 3√3 = (3/2)√3 Para determinar a altura relativa ao lado BC do triângulo 4ABC, podemos projetar o vetor AB sobre o vetor AC e calcular a distância entre o ponto de interseção da projeção com o vetor AC e o vértice A. A projeção de AB sobre AC é dada por: projAC(AB) = ((AB . AC)/|AC|²) * AC Onde "." representa o produto escalar entre vetores e "|" representa o módulo de um vetor. Então: projAC(AB) = ((1*2 + 2*1 + 1*2)/(2² + 1² + 2²)) * (2, 1, 2) = (8/9) * (2, 1, 2) = (16/9, 8/9, 16/9) A distância entre o ponto (16/9, 8/9, 16/9) e o vértice A é a altura relativa ao lado BC do triângulo 4ABC. Então: h = |AC x (A - AC)| / |AC| = |(2, 1, 2) x ((16/9) - 2, (8/9) - 1, (16/9) - 2)| / √(2² + 1² + 2²) h = |(-4/9, 7/9, -4/9)| / 3 = (1/3)√3 Portanto, a altura relativa ao lado BC do triângulo 4ABC é (1/3)√3.