Para construir a tabela de Cayley para a operação de composição de aplicações, precisamos combinar cada função em G com todas as outras funções em G e calcular a composição resultante. Aqui está a tabela de Cayley para o conjunto G = {f1, f2, f3, f4}: ``` ◦ | f1 | f2 | f3 | f4 ----------------------------- f1 | f1 | f2 | f3 | f4 f2 | f2 | f1 | f4 | f3 f3 | f3 | f4 | f1 | f2 f4 | f4 | f3 | f2 | f1 ``` Agora, vamos verificar se (G, ◦) é um grupo. Para isso, precisamos verificar se as seguintes propriedades são satisfeitas: 1. Fechamento: Para quaisquer duas funções f e g em G, a composição f ◦ g também está em G. 2. Associatividade: Para quaisquer três funções f, g e h em G, a composição é associativa, ou seja, (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). 3. Identidade: Existe uma função e em G, chamada de identidade, tal que para qualquer função f em G, temos e ◦ f = f ◦ e = f. 4. Inverso: Para cada função f em G, existe uma função g em G, chamada de inverso de f, tal que f ◦ g = g ◦ f = e. Vamos verificar essas propriedades: 1. Fechamento: Na tabela de Cayley, podemos ver que a composição de qualquer par de funções em G resulta em outra função em G. Portanto, a propriedade de fechamento é satisfeita. 2. Associatividade: A associatividade da composição de funções é uma propriedade geral da álgebra de funções. Portanto, a propriedade de associatividade é satisfeita. 3. Identidade: A função identidade é a função f1(x) = x. Podemos ver na tabela de Cayley que a composição de f1 com qualquer função f em G resulta em f. Portanto, a propriedade de identidade é satisfeita. 4. Inverso: Para cada função f em G, podemos encontrar seu inverso multiplicativo, que é a função que desfaz a operação da função f. Por exemplo, o inverso de f1(x) = x é f1(x) = x, o inverso de f2(x) = 1/x é f2(x) = 1/x, o inverso de f3(x) = -x é f3(x) = -x e o inverso de f4(x) = -1/x é f4(x) = -1/x. Podemos ver na tabela de Cayley que a composição de qualquer função f em G com seu inverso resulta na função identidade f1(x) = x. Portanto, a propriedade de inverso é satisfeita. Portanto, podemos concluir que (G, ◦) é um grupo.