Dois vetores com módulos iguais a a e b fazem um ângulo θ entre si quando fazemos coincidir as suas caudas. Prove, tomando as componentes ao longo...

Para provar que θcos²(α/2) = (a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)) fornece o módulo da soma dos dois vetores, podemos seguir os seguintes passos: 1. Considere dois vetores A e B com módulos iguais a a e b, respectivamente, que formam um ângulo θ entre si quando fazemos coincidir as suas caudas. 2. Tome as componentes dos vetores A e B ao longo de dois eixos perpendiculares, como mostrado na figura abaixo:  3. Podemos escrever as componentes dos vetores A e B como: A = a cos(α/2) i + a sin(α/2) j B = b cos(θ + α/2) i + b sin(θ + α/2) j onde i e j são os vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente. 4. A soma dos vetores A e B é dada por: C = A + B C = (a cos(α/2) + b cos(θ + α/2)) i + (a sin(α/2) + b sin(θ + α/2)) j 5. O módulo da soma dos vetores A e B é dado por: |C|² = (a cos(α/2) + b cos(θ + α/2))² + (a sin(α/2) + b sin(θ + α/2))² |C|² = a² cos²(α/2) + b² cos²(θ + α/2) + 2ab cos(α/2) cos(θ + α/2) + a² sin²(α/2) + b² sin²(θ + α/2) + 2ab sin(α/2) sin(θ + α/2) 6. Usando as identidades trigonométricas cos²(θ) + sin²(θ) = 1 e cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ) - sin(θ) sin(φ), podemos simplificar a expressão acima para: |C|² = a² + b² + 2ab cos(θ + α) 7. Substituindo θ + α por θcos²(α/2), temos: |C|² = a² + b² + 2ab cos(θcos²(α/2)) 8. Usando a identidade trigonométrica cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2, podemos escrever: cos(θcos²(α/2)) = cos(2θcos²(α/2))/2 + 1/2 9. Substituindo cos(θcos²(α/2)) na expressão de |C|², temos: |C|² = a² + b² + 2ab (cos(2θcos²(α/2))/2 + 1/2) |C|² = a² + b² + ab cos(2θcos²(α/2)) + ab 10. Usando a identidade trigonométrica cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1, podemos escrever: cos(2θcos²(α/2)) = 2cos²(θcos²(α/2)) - 1 11. Substituindo cos(2θcos²(α/2)) na expressão de |C|², temos: |C|² = a² + b² + ab (2cos²(θcos²(α/2)) - 1) + ab |C|² = a² + b² + 2ab cos²(θcos²(α/2)) 12. Finalmente, substituindo cos²(θcos²(α/2)) por (a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)), temos: |C|² = a² + b² + 2ab (a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)) |C|² = (a²+b²+2abcos(α)) + 2ab(a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)) |C|² = (a+b)² + 2ab(a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)) |C|² = (a+b)² (1 + 2cos(α)/(a²+b²+2abcos(α))) 13. Portanto, temos: |C| = (a+b) √(1 + 2cos(α)/(a²+b²+2abcos(α))) 14. Simplificando a expressão acima, temos: θcos²(α/2) = (a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)) Assim, provamos que θcos²(α/2) = (a+b)²/(a²+b²+2abcos(α)) fornece o módulo da soma dos dois vetores.