Dados os vetores: u = 2 i - j + 3 k , v = 4 i + 5 j + k e w = 3 i – j + m k, calcular: a) u . v b) u x v c) m de modo que u seja ortogonal a w; d) ...

a) O produto escalar entre u e v é dado por: u . v = (2 * 4) + (-1 * 5) + (3 * 1) = 8 - 5 + 3 = 6. b) O produto vetorial entre u e v é dado por: u x v = (2 * 5 - 3 * 1) i - (2 * 1 - 3 * 4) j + (2 * 1 - 5 * 4) k = 7 i + 10 j - 18 k. c) Para que u seja ortogonal a w, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero: u . w = (2 * 3) + (-1 * 1) + (3 * m) = 0. Resolvendo para m, temos: m = -1. d) O ângulo entre u e v é dado por: cos(theta) = (u . v) / (|u| * |v|), onde |u| e |v| são os módulos dos vetores u e v, respectivamente. Substituindo os valores, temos: cos(theta) = 6 / (sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) * sqrt(4^2 + 5^2 + 1^2)) = 6 / (sqrt(14) * sqrt(42)) = 0,267. Portanto, theta = arccos(0,267) = 74,5 graus. e) Os co-senos diretores de u são dados por: cos(alpha) = 2 / |u|, cos(beta) = -1 / |u| e cos(gamma) = 3 / |u|, onde alpha, beta e gamma são os ângulos que u forma com os eixos x, y e z, respectivamente. Substituindo os valores, temos: cos(alpha) = 2 / sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = 2 / sqrt(14), cos(beta) = -1 / sqrt(14) e cos(gamma) = 3 / sqrt(14). Os co-senos diretores de v são dados por: cos(alpha) = 4 / |v|, cos(beta) = 5 / |v| e cos(gamma) = 1 / |v|. Substituindo os valores, temos: cos(alpha) = 4 / sqrt(4^2 + 5^2 + 1^2) = 4 / sqrt(42), cos(beta) = 5 / sqrt(42) e cos(gamma) = 1 / sqrt(42).