Seja TR2 → R2 o operador linear definido por T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y) a) Determinar uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é dia...

a) Para encontrar uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal, precisamos encontrar os autovetores de T. Para isso, resolvemos a equação T (x, y) = λ(x, y), onde λ é o autovalor e (x, y) é o autovetor correspondente. Temos: (7x - 4y, -4x + y) = λ(x, y) Da primeira equação, temos: 7x - 4y = λx Da segunda equação, temos: -4x + y = λy Podemos reescrever essas equações como: (7 - λ)x - 4y = 0 -4x + (1 - λ)y = 0 Essas equações formam um sistema linear homogêneo. Para que ele tenha solução não trivial, a matriz dos coeficientes deve ter determinante igual a zero. Assim, temos: |7 - λ -4| = 0 |-4 1 - λ| (7 - λ)(1 - λ) - (-4)(-4) = 0 λ² - 8λ + 17 = 0 As raízes dessa equação são λ1 = 2 e λ2 = 5. Para cada autovalor, encontramos um autovetor correspondente: Para λ1 = 2: (7 - 2)x - 4y = 0 -4x + (1 - 2)y = 0 5x - 4y = 0 -4x - y = 0 Assim, temos o autovetor (4, 5). Para λ2 = 5: (7 - 5)x - 4y = 0 -4x + (1 - 5)y = 0 2x - 4y = 0 -4x - 4y = 0 Assim, temos o autovetor (2, 1). Portanto, a base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal é {(−2, 1), (1, 2)}. b) Para encontrar a matriz de T nessa base, precisamos encontrar as coordenadas dos autovetores nessa base. Temos: (4, 5) = a(−2, 1) + b(1, 2) -2a + b = 4 a + 2b = 5 Resolvendo esse sistema, encontramos a = 1 e b = 2. Assim, as coordenadas do autovetor (4, 5) na base {(−2, 1), (1, 2)} são (1, 2). Da mesma forma, temos: (2, 1) = a(−2, 1) + b(1, 2) -2a + b = 2 a + 2b = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos a = -1 e b = 1. Assim, as coordenadas do autovetor (2, 1) na base {(−2, 1), (1, 2)} são (-1, 1). A matriz de T nessa base é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores correspondentes aos autovetores encontrados. Assim, temos: (9 0) (0 -1)