4. (2,5) Prove que a sequência {an} definida abaixo é tal que ak = (k + 2)2 para todo inteiro k ≥ 0. an = { 4 , se n = 0, an−1 + 2n+ 3 , se n ≥ 1...

Para provar que a sequência {an} é tal que ak = (k + 2)² para todo inteiro k ≥ 0, podemos usar indução matemática. Base da indução: Para k = 0, temos a0 = 4 e (0 + 2)² = 4, portanto a0 = (0 + 2)². Hipótese da indução: Suponha que a sequência é verdadeira para um certo k = n, ou seja, an = (n + 2)². Passo da indução: Precisamos mostrar que a sequência também é verdadeira para k = n + 1, ou seja, que a(n+1) = ((n+1) + 2)² = (n+3)². Usando a definição da sequência, temos: a(n+1) = a(n) + 2(n+1) + 3 a(n+1) = (n+2)² + 2(n+1) + 3 a(n+1) = n² + 4n + 4 + 2n + 2 + 3 a(n+1) = n² + 6n + 9 a(n+1) = (n+3)² Portanto, a sequência é verdadeira para todo inteiro k ≥ 0.