5. (2,0) Sejam a e b dois números reais não nulos tais que a+ b e a · b são ambos números inteiros. Prove que an + bn é inteiro para todo n ∈ ...

Para provar que an + bn é inteiro para todo n ∈ N, podemos usar indução matemática. Para n = 1, temos que a + b é um número inteiro, então a + b é inteiro. Agora, suponha que an + bn é inteiro para algum n = k. Precisamos mostrar que an+1 + bn+1 é inteiro. Usando a dica, temos que an−1 + bn−1 e an−2 + bn−2 são inteiros. Podemos reescrever an+1 + bn+1 como (a + b)(an) - ab(an-1) + (a + b)(bn) - ab(bn-1). Como a + b e ab são inteiros, e an, an-1, bn e bn-1 são inteiros (por hipótese), então (a + b)(an) - ab(an-1) + (a + b)(bn) - ab(bn-1) é inteiro. Portanto, an+1 + bn+1 é inteiro, e a prova por indução está completa. Concluímos que an + bn é inteiro para todo n ∈ N.