Considere o campo vetorial F⃗(x, y, z) = (x arctan(z), zey, x/(1+z^2)+ey). a) (1,0pt) F⃗ é conservativo? Justifique. Note que após sucessivas integ...
Considere o campo vetorial F⃗(x, y, z) = (x arctan(z), zey, x/(1+z^2)+ey). a) (1,0pt) F⃗ é conservativo? Justifique. Note que após sucessivas integrações podemos ver que F⃗ = grad f, onde f(x, y, z) = x arctan(z)+zey. Como os domínios de f e F⃗ são iguais a R3, o campo é conservativo. b) (1,0pt) Calcule o trabalho realizado por F⃗ ao deslocar uma partícula do ponto (eπ, 19, 0) ao ponto (26, 0, π/4). Como o campo é conservativo, o trabalho independe do caminho e portanto W = f(26, 0, π/4)−f(eπ, 19, 0) = 26 arctan(π/4) + π/4.
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Ed 
a) O campo vetorial F⃗(x, y, z) = (x arctan(z), zey, x/(1+z^2)+ey) é conservativo, pois é possível verificar que ele é o gradiente de uma função escalar f(x, y, z) = x arctan(z) + zey. Como os domínios de f e F⃗ são iguais a R3, o campo é conservativo. b) Para calcular o trabalho realizado por F⃗ ao deslocar uma partícula do ponto (eπ, 19, 0) ao ponto (26, 0, π/4), podemos usar a fórmula W = f(26, 0, π/4) - f(eπ, 19, 0), onde f(x, y, z) = x arctan(z) + zey. Substituindo os valores, temos: W = f(26, 0, π/4) - f(eπ, 19, 0) W = (26 arctan(π/4) + π/4) - (eπ arctan(0) + 19e) W = 26 arctan(π/4) + π/4 - 19e Portanto, o trabalho realizado por F⃗ é 26 arctan(π/4) + π/4 - 19e.
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