(1,0pt) Calcule ∫Γex sin(y)dx+(ex cos(y)+3x)dy, onde Γ é a elipse x^2/4+y^2/9=1. Usando a fórmula do teorema de Green dada na primeira questão temo...

Para calcular a integral ∫Γex sin(y)dx+(ex cos(y)+3x)dy, onde Γ é a elipse x^2/4+y^2/9=1, podemos usar o Teorema de Green. Primeiro, precisamos encontrar P e Q, que são as derivadas parciais de ex cos(y)+3x em relação a x e y, respectivamente. Temos: P = ∂(ex cos(y)+3x)/∂x = ex cos(y) + 3 Q = ∂(ex cos(y)+3x)/∂y = -ex sin(y) Agora, podemos aplicar o Teorema de Green: ∫ΓPdx+Qdy = ∫∫Ω(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA Onde Ω é a região delimitada pela elipse x^2/4+y^2/9=1. Calculando as derivadas parciais de Q e P, temos: ∂Q/∂x = 0 ∂P/∂y = -ex sin(y) Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos: ∫ΓPdx+Qdy = ∫∫Ω(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA = ∫∫Ω(ex sin(y))dA Podemos transformar a integral dupla em coordenadas polares, já que a região Ω é simétrica em relação ao eixo x: ∫∫Ω(ex sin(y))dA = ∫0^2π ∫0^3/2 (ex sin(y))rdrdθ Resolvendo a integral, temos: ∫0^2π ∫0^3/2 (ex sin(y))rdrdθ = 18π(e^(3/2) - 1) Portanto, a integral ∫Γex sin(y)dx+(ex cos(y)+3x)dy é igual a 18π(e^(3/2) - 1).