11. Explique a diferença entre as decomposições A = LU e PA = LU . Como é o formato da matriz P e que informação relacionada ao processo de fatoraç...

A decomposição A = LU é uma fatoração de uma matriz A em duas matrizes L e U, onde L é uma matriz triangular inferior com diagonal principal igual a 1 e U é uma matriz triangular superior. A matriz A pode ser escrita como o produto dessas duas matrizes, A = LU. Essa fatoração é útil para resolver sistemas lineares, pois permite que o sistema Ax = b seja reescrito como LUx = b, e então resolvido em duas etapas: primeiro, resolvendo Ly = b para y, e depois resolvendo Ux = y para x. Já a decomposição PA = LU é uma fatoração de uma matriz A em três matrizes P, L e U, onde P é uma matriz de permutação, L é uma matriz triangular inferior com diagonal principal igual a 1 e U é uma matriz triangular superior. A matriz A pode ser escrita como o produto dessas três matrizes, PA = LU. A matriz de permutação P é usada para trocar linhas de A de forma a evitar divisões por zero ou para melhorar a estabilidade numérica do processo de fatoração. A matriz P carrega informações sobre as trocas de linhas que foram feitas durante o processo de fatoração. As matrizes L e U obtidas na fatoração A = LU são as mesmas que aparecem em PA = LU, mas a matriz P é diferente da matriz identidade. A matriz P é uma matriz de permutação que é usada para trocar linhas de A durante o processo de fatoração. Para resolver o sistema Ax = b depois que a fatoração de A foi obtida, podemos primeiro aplicar a matriz de permutação P em b para obter o vetor b' permutado. Em seguida, resolvemos o sistema PAx' = b', onde x' é o vetor de incógnitas permutado. Esse sistema pode ser resolvido em duas etapas, como no caso da decomposição A = LU: primeiro, resolvendo Ly = Pb' para y, e depois resolvendo Ux' = y para x'.