1) Determine a função derivada através da definição e encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x² nos pontos a seguir: a) (...

Para determinar a função derivada de f(x) = x² através da definição, precisamos utilizar a seguinte fórmula: f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h Substituindo a função f(x) = x² na fórmula, temos: f'(x) = lim (h -> 0) [(x + h)² - x²] / h f'(x) = lim (h -> 0) [x² + 2xh + h² - x²] / h f'(x) = lim (h -> 0) [2xh + h²] / h f'(x) = lim (h -> 0) [h(2x + h)] / h f'(x) = 2x Portanto, a função derivada de f(x) = x² é f'(x) = 2x. Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos dados, precisamos utilizar a fórmula: y - y1 = f'(x1) * (x - x1) a) Ponto (1, f(1)): x1 = 1 y1 = f(1) = 1² = 1 f'(x1) = f'(1) = 2 * 1 = 2 Substituindo os valores na fórmula, temos: y - 1 = 2 * (x - 1) y - 1 = 2x - 2 y = 2x - 1 Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x² no ponto (1, 1) é y = 2x - 1. b) Ponto (-1, f(-1)): x1 = -1 y1 = f(-1) = (-1)² = 1 f'(x1) = f'(-1) = 2 * (-1) = -2 Substituindo os valores na fórmula, temos: y - 1 = -2 * (x + 1) y - 1 = -2x - 2 y = -2x - 1 Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x² no ponto (-1, 1) é y = -2x - 1. c) Ponto (2, f(2)): x1 = 2 y1 = f(2) = 2² = 4 f'(x1) = f'(2) = 2 * 2 = 4 Substituindo os valores na fórmula, temos: y - 4 = 4 * (x - 2) y - 4 = 4x - 8 y = 4x - 4 Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x² no ponto (2, 4) é y = 4x - 4.