14- (2-98,pe) Resolva : a) senx cos y dx− cosx sen y dy = 0. b) (1/x2 + 3y2/x4)dx = 2y/x3 dy, y(1) = 1. c) y′ + xy = x3y3. d) y′′ = 1/2y′. e) y′′ +...

a) Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o fato de que a derivada da função seno é o cosseno e a derivada do cosseno é o oposto do seno. Assim, podemos reescrever a equação como: sen(x)cos(y)dx = cos(x)sen(y)dy Dividindo ambos os lados por sen(x)cos(y), temos: dx/dy = cos(x)/sen(y) Agora, podemos separar as variáveis e integrar: sen(y)dy = cos(x)dx -int(cos(y)) = sen(x) + C onde C é a constante de integração. b) Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o fato de que a derivada da função arctan é 1/(1+x^2). Assim, podemos reescrever a equação como: d(arctan(x^2/y))/dx = 2y/(x^3) Integrando ambos os lados em relação a x, temos: arctan(x^2/y) = -1/x^2 + C Usando a condição inicial y(1) = 1, podemos encontrar o valor de C: arctan(1) = -1/1^2 + C C = π/4 + 1 Portanto, a solução da equação diferencial é: arctan(x^2/y) = -1/x^2 + π/4 + 1 c) Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o fato de que a derivada da função exponencial é ela mesma. Assim, podemos reescrever a equação como: y' + xy = x^3y^3 Multiplicando ambos os lados por e^(x^2/2), temos: (e^(x^2/2)y)' = x^3e^(x^2/2)y^3 Agora, podemos separar as variáveis e integrar: ∫y^-3dy = ∫x^3e^(x^2/2)dx -1/2y^-2 = e^(x^2/2)/2 + C onde C é a constante de integração. d) Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o fato de que a derivada da função exponencial é ela mesma. Assim, podemos reescrever a equação como: y'' - 1/2y' = 0 Multiplicando ambos os lados por e^(-x/2), temos: (e^(-x/2)y')' = 0 Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a x: e^(-x/2)y' = C onde C é a constante de integração. Integrando novamente, temos: y = C1e^(x/2) + C2 onde C1 e C2 são constantes de integração. e) Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o fato de que a solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem é da forma y = Ae^(mx), onde A e m são constantes. Assim, podemos tentar uma solução da forma y = e^(mx). Substituindo na equação, temos: m^2e^(mx) + 2me^(mx) + e^(mx) = 0 Dividindo ambos os lados por e^(mx), temos: m^2 + 2m + 1 = 0 Resolvendo a equação quadrática, temos: m = -1 (raiz dupla) Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = (C1 + C2x)e^(-x)