Lista de Exercícios Cálculo IV

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
A´REA 2
1o¯ Semestre de 2019
Professor Pablo Braz e Silva
Departamento de Matema´tica, sala A220
Enderec¸o eletroˆnico: pablo@dmat.ufpe.br
Turma: Q5
Atendimento: agenda pre´via
Monitoria:
Objetivo da disciplina: Apresentar ao estudante algumas te´cnicas e resultados ba´sicos de equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias e parciais.
Livro texto: Equac¸o˜es Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, de BOYCE &
DiPRIMA, Ed. Guanabara Dois .
CRONOGRAMA E PROGRAMA
Conteu´do programa´tico: Conceitos introduto´rios e classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais.
Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem. Obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es de equac¸o˜es lineares, separa´veis, exatas,
na˜o exatas com fatores integrantes simples, etc... Algumas aplicac¸o˜es das equac¸o˜es de primeira ordem.
Equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem, propriedades gerais das soluc¸o˜es, soluc¸a˜o das homogeˆneas com
coeficientes constantes. Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas, me´todo dos coeficientes a determinar e me´todo
da variac¸a˜o dos paraˆmetros. Estudo introduto´rio das oscilac¸o˜es lineares livres e forc¸adas. Transformada
de Laplace, propriedades fundamentais, e utilizac¸a˜o para resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais. Equac¸a˜o do
calor. Me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. Se´ries de Fourier, propriedades ba´sicas e aplicac¸o˜es. Equac¸a˜o
da onda, vibrac¸o˜es em uma corda ela´stica. Equac¸a˜o de Laplace.
1a¯ UNIDADE. Aulas: 18-02-2019 a 25-03-2019 (9 aulas). 1
o Exerc´ıcio: 27-03-2019
2a¯ UNIDADE. Aulas: 03-04-2019 a 08-05-2019 (10 aulas). 2
o Exerc´ıcio: 15-05-2019.
3a¯ UNIDADE. Aulas: 20-05-2019 a 12-06-2019(8 aulas) 3
o Exerc´ıcio: 19-06-2019.
Segunda chamada: 28-06-2019
Exame final: 08-07-2019
Exame de equivaleˆncia/segunda chamada. Apenas o Coordenador da A´rea 2 pode autorizar um
exame de segunda chamada para o aluno. Sob nenhuma condic¸a˜o a Coordenac¸a˜o de Ca´lculo 4 permitira´
que algum aluno fac¸a o exame de segunda chamada se o seu nome na˜o constar na lista expedida pela
Coordenac¸a˜o da A´rea 2.
Exerc´ıcios. O livro texto e´ bastante rico em bons exerc´ıcios, de maneira que o aluno pode restringir-se
aos exerc´ıcios do Boyce & DiPrima se assim o desejar. Segue abaixo uma lista de exerc´ıcios com problemas
de exerc´ıcios escolares de semestres anteriores.
LISTA DE EXERC´ICIOS1
Os problemas que seguem foram propostos em exerc´ıcios escolares em per´ıodos anteriores.
Para localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles tera´ uma sigla do tipo
(n-pq,uv), onde n e´ 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, e´ o ano, 80 ≤ pq ≤ 97, e uv pode assumir os
valores, pe (primeiro exerc´ıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como a`s vezes acontece de um
professor fazer modificac¸o˜es em uma questa˜o de um exerc´ıcio escolar, no momento de aplica´-lo, e, eu na˜o
tive acesso a nenhuma dessas mudanc¸as, pode acontecer que alguns desses problemas na˜o correspondam
exatamente ao que foi proposto nas avaliac¸o˜es.
1- ( 1-95,pe) Encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es diferenciais, resolvendo o problema de
valor inicial correspondente se necessa´rio.
a) (1 pt) y
′
+ (cotanx)y = 4senx, y(−pi/2) = 0.
b) (1 pt) (x2 − 2y2)dx+ xydy = 0.
c) (1 pt) (x+ 2y−1)dy + ydx = 0.
d) (1 pt) xdy = (y + x2)dx.
2- ( 2-90,pe) (i) Encontre uma soluc¸a˜o na˜o nula, y1(x), de y
′ − 2y = 0.
(ii) Encontre todas as func¸o˜es A(x) de maneira que y(x) = A(x)y1(x) e´ soluc¸a˜o de
y′ − 2y = x2e2x.
3- ( 2-91,pe) Encontre a famı´lia ortogonal da famı´lia de curvas y2 − x = cx.
4- ( 1-90,pe) Encontre a famı´lia ortogonal da famı´lia de curvas y = cex.
5- ( 1-90,pe) Considere o problema de valor inicial
y′ =
x2 + y2
xy
, y(1) = 2.
i) Encontre uma soluc¸a˜o para este problema.
ii) Mostre que ele possui soluc¸a˜o u´nica.
iii) Determine o intervalo em que a soluc¸a˜o encontrada em (i) e´ va´lida.
6- ( 1-90,pe) Mostre que todas as soluc¸o˜es da EDO y′ = −xy e
y2
1 + ex2
que cortam o eixo dos y sa˜o
limitadas.
7- ( 2-91,pe) Mostre que a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y′ = (y2 − 1)(y2 − 4), y(0) = 0 satisfaz a desigualdade |y(x)| ≤ 1, para todo x.
8- ( 1-90,pe) Resolva o problema de valor inicial: y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
9- ( 2-94,pe) Escolha duas das EDO’s abaixo e resolva-as.
a) x cos(y/x)y′ = y cos(y/x) + x.
b) (3xy + x2)y′ + y2 + xy = 0.
c) y′ =
x5 − 3y
x
.
10- ( 1-94,pe) Escolha e resolva, no ma´ximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
1Compilada pelo professor Francisco Fortes de Brito
1. y′ = 1 + x+ y2 + xy2.
2. 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0.
3. (x3y2 + x)y′ + (x2y3 + y) = 0.
4. y′ =
2xy + y2
x2
, x > 0.
5. yy′′ + (y′)2 = 0.
6. xy′′ + y′ = 1.
11- ( 1-94,pe) Dada a equac¸a˜o y′ = 3y
2
3 :
1. Onde o teorema de existeˆncia e unicidade e´ va´lido?
2. Verifique que as func¸o˜es u(x) = x3 e v(x) = 0 sa˜o soluc¸o˜es da EDO.
3. O problema de valor inicial y′ = 3y
2
3 , y(0) = 0, tem soluc¸a˜o u´nica? Compare com o resultado
do item 1.
12- ( 1-94,sc) Escolha e resolva duas das questo˜es abaixo: (Obs. As soluc¸o˜es podem ser dadas implici-
tamente.)
(a) Encontre a famı´lia de soluc¸o˜es da EDO y′ = y2 secx tanx.
(b) Encontre a famı´lia de soluc¸o˜es da EDO y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) Mostre que 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0 na˜o e´ uma equac¸a˜o exata e admite x como fator
integrante. Ale´m disso, encontre a famı´lia de soluc¸o˜es da EDO.
13- ( 1-92,pf) Resolva a equac¸a˜o f(x) = 1 +
∫ x
0
tf(t)dt.
14- (2-98,pe) Resolva :
a) senx cos y dx− cosx sen y dy = 0.
b) (
1
x2
+
3y2
x4
)dx =
2y
x3
dy, y(1) = 1.
c) y′ + xy = x3y3.
d) y′′ =
1
2y′
.
e) y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = −2, y′(0) = −3.
15- (2-98,pe) Considere a EDO y′ = (y2 − x2) sen(xy) + 1.
a) Quantas soluc¸o˜es y = f(x) desta equac¸a˜o sa˜o tais que f(0) = 0? Justifique.
b) Determine se e´ ou na˜o poss´ıvel existir uma soluc¸a˜o y = f(x) desta EDO tal que
f(−1) = f(1) = 0. Justifique.
16- (2-98,pf) Resolva cada uma das seguintes equac¸o˜es diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
(a) (1, 0 pts) y′ + 2xy = 2xex2 .
(b) (1, 0 pts) y′ − 2y = e2x, y(0) = 2.
(c) (1, 0 pts) y
′
=
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(d) (1, 0 pts) y
′′
+ 4y = x2.
17- (2-98,sc) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o
caso:
(a) (1, 0 pts) y′ = y2 secx tanx.
(b) (1, 0 pts) y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) (1, 0 pts) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
(d) (1, 0 pts) y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
18- (1995-1)Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais na˜o homogeˆneas usando o me´todo dos coeficientes
a determinar ou o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros:
a) (1,5 pts) y
′′
+ 2y
′
= 3 + 4sen(2x).
b) (1,5 pts) y
′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2).
19- (1995-1)Determine L {f(t)} das func¸o˜es abaixo:
a) (1,0 pt) f(t) = te2tsen(4t), t > 0.
b) (1,0 pt) f(t) = (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t)
c) (1,0 pt)
f(t) =
{
0 , se 0 ≤ t < 1,
t2 − 2t+ 2 , se t ≥ 1.
d) (1,0 pt) f e´ perio´dica de per´ıodo 2, e,
f(t) =
{
1 , se 0 ≤ t < 1,
−1 , se 1 ≤ t < 2.
20- (1995-1) Use transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) (1,5 pts) y
′′
+ y = t− u1(t), y(0) = y′(0) = 0.
b) (1,5 pts) y
′′ − y = δ(t− 1), y(0) = y′(0) = 0.
21- (1995-2)(2,5 pt): Usando o me´todo dos coeficientes indeterminados, ache a soluc¸a˜o geral da EDO
y′′ + 4y = 3sen2x.
22- (1995-2)
a) (1,5 pt) Resolva o PVI y′′ + y = δpi(t), y(0) = 0, y′(0) = 1.
b) (1,0 pt) Use que
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
pi/2, para calcular L {t−1/2}.
23- (1995-2)
a) (0,5 pt) Encontre um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para a EDO y′′ − 2y′ + y = 0,
b) (1,5 pt) Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para determinaruma soluc¸a˜o particular da
EDO
y′′ + 2y′ + y = e−xlnx, x > 0 ,
c) (0,5 pt) Encontre a soluc¸a˜o geral da EDO do ı´tem (b).
24- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f uma func¸a˜o que satisfaz a f(t + T ) = f(t) para todo t ≥ 0 e para um certo
nu´mero positivo fixo T ; f e´ perio´dica com per´ıodo T em 0 ≤ t ≤ ∞. Mostre que
L {f}(s) =
∫ T
o
e−stf(t)dt
1− e−sT ,
b) (1,0 pt) Calcule L {f}(s), onde f(t) e´ a func¸a˜o definida em [0,∞) por f(0) = 1 e f(t) = sentt
para t > 0.
25- (1984-1) Determine uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o y′′ + 2y′ + y = 3ex.
26- (1994-1) Encontre uma soluc¸a˜o particular do problema y′′ + y = g(x), para cada uma das escolhas
abaixo para g(x) :
a) g(x) = sen(x).
b) g(x) = sec3(x), |x| < pi/2.
27- (1994-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y′′ + 2y′ + 2y = u2(t); y(0) = 0, y′(0) = 1
.
28- (1984-1) Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o y′′ + y = cscx, 0 < x < pi.
29- (1984-1 Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o y′′ + 2y′ + y = ex lnx.
30- (1984-1 Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 6y = x3, y(0) = 0, y′(0) = 0.
31- ( 1991-2) Utilize o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para obter a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
x2y′′ − 3xy′ + 4y = x3, x > 0.
32- ( ? ?) No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ac¸a˜o de uma forc¸a
externa obtemos a equac¸a˜o
y′′ + cy′ + y = sen t.
a) Determine a func¸a˜o y = y(t), que fornece a posic¸a˜o do corpo para t ≥ 0, em regime estaciona´rio.
b) Indique um intervalo de valores para c (constante de atrito viscoso) de modo que a amplitude
de y(t) na˜o exceda 4 unidades de comprimento.
33- ( 1994-2) Mostre que 1 + x e ex formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es da EDO homogeˆnea
correspondente a xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, x > 0, e, encontre a soluc¸a˜o geral da EDO dada.
34- ( 1994-2) Mostre que a substituic¸a˜o x = et transforma a equac¸a˜o x2
d2y
dx2
+ ax
dy
dx
+ by = 0, a e b
constantes e x > 0, em uma equac¸a˜o com coeficientes constantes. Utilize este processo para resolver
a equac¸a˜o x2
d2y
dx2
+ 2x
dy
dx
− 6y = (lnx)2, x > 0.
35- ( 1994-2) Considere as EDO’s : y′′ + 2x−1y′ + y = 2x2 + 12 e y′′ + x−1y′ − 4x−2y = 3x−1. Obtenha
as soluc¸o˜es das EDO’s, a partir das func¸o˜es : x−1 senx, x2, x, x−1 cosx.
36- (1998-2) Calcule L {f(t)}, ou L −1{F (s)}, conforme seja o caso:
(a) (1, 0 pts) f(t) = t− (t− 1)u1(t).
(b) (1, 0 pts) F (s) =
2s− 3
s2 − 1
(c) (1, 0 pts) f(t) =
{
1, 0 ≤ t < 1,
0, t ≥ 1.
(d) (1, 0 pts) F (s) =
2
s2 − 4s+ 5.
37- (1998-2)
(a) (1, 0 pts) Calcule L (f), se f(t) = t2 − e3t.
(b) (1, 0 pts) Calcule L (f), se g(t) = sen2t+ u2(t)cos3(t− 2).
(c) (1, 0 pts) Calcule L −1(F ), se F (s) =
2(s− 1)e−2s
s2 − 2s+ 2 .
(d) (1, 0 pts) Calcule L −1(F ), se F (s) =
1− 2s
s2 + 4s+ 5
.
38- (1998-2) Use o me´todo dos coeficientes a determinar para indicar uma soluc¸a˜o particular para cada
uma das equac¸o˜es na˜o homogeˆneas abaixo.
(Na˜o e´ necessa´rio calcular as constantes!!!)
a) y′′ + 2y′ + 5y = x3 senx.
b) y′′ + 2y′ + 5y = xe−x cos(2x).
c) y′′ + 2y′ + 5y = e−2x.
39- (1998-2) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
y′′ − 2y′ + y = e
x
1 + x2
.
40- (1998-2) Calcule
a) L {t− 3e−t}(s).
b) L {te3t sen(t)}(s).
c) L −1{ 2e
−2s
s2 − 4}(t).
d) L −1{ 2s− 3
s2 + 2s+ 10
}(t).
41- (1998-2) Resolva o problema de valor inicial
y′′ + 4y = 2δ(t− pi/4), y(0) = 0, y′(0) = 0
.
42- ( 1-95,pe) Encontre as soluc¸o˜es gerais das seguintes equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem:
a) (1,0 pt) y
′′
+ y
′
= e−x.
b) (1,0 pt) y
′′
+ y(y
′
)3 = 0.
c) (1,0 pt) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
d) (1,0 pt)y
′′ − 2y′ + 4y = 0.
43- ( 1-95,pe) Sabendo que y1(x) = x
2 e´ soluc¸a˜o de x2y
′′
+ xy
′ − 4y = 0, determine:
a) Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada da forma y2(x) = v(x)y1(x), de modo que {y1, y2} seja um
sistema fundamental de soluc¸o˜es.
b) Todas as soluc¸o˜es y da equac¸a˜o que satisfazem y(1) = 0.
44- ( 2-90,pe) Determine a soluc¸a˜o da EDO y′′ + y′ − 6y = 0 que satisfaz a lim
x→∞ y(x) = 0 e y(0) = 0.
45- ( 1-90,pe) Para quais valores de r, y(x) = erx e´ soluc¸a˜o da EDO y′′′ − 5y′′ + 6y′ = 0?
46- ( 2-91,pe) Ache a soluc¸a˜o geral de y′′+ 2xy
′+y = 0, x > 0. Sugesta˜o: Fac¸a y(x) = v(x)/x e substitua
na equac¸a˜o.
47- ( ?-??,pe) Considere a equac¸a˜o diferencial y′′ + cy′ + y = 0, onde c e´ uma constante, 0 < c < 5.
i) Fornec¸a a soluc¸a˜o geral y(x) da equac¸a˜o.
ii) Qual o limite de y(x) quando x tende para o infinito, para os diversos valores de c no intervalo
citado acima?
48- ( 2-89,pe) Ache os valores de α para os quais a equac¸a˜o
y′′ − α(α− 1)y′ + 1
4
[α(α− 1)2 + 1]y = 0
admite apenas soluc¸o˜es limitadas.
Observac¸a˜o : y(x) e´ limitada, se existe M > 0 tal que |y(x)| < M , para todo x∈R.
49- ( 2-94,pe) Resolva as EDO’s abaixo:
a) y′′ − 4y′ − 5y = 0.
b) y′′ + 4y′ + 13y = 0.
c) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = (senx− 6)e−x.
50- ( 2-91,pf) Determine α de modo que todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o
y′′ + (α2 − 1)y′ + αy = 0,
sejam limitadas.
51- (2-98,pe) Resolva a equac¸a˜o diferencial (1− x2)y′′ − xy′ + y = 0, |x| < 1.
Sugesta˜o: Fac¸a a mudanc¸a de varia´vel x = cos t.
Ate´ esse ponto, os exerc´ıos envolvem apenas EDO’s. A partir daqui, EDP’s e se´ries de Fourier.
1- (1991-2) Considere o problema
ut = α
2uxx , 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = 0
ux(l, t) + γu(l, t) = 0
onde α, γ e l sa˜o constantes. Se u(x, t) = X(x)T (t) e´ soluc¸a˜o desse problema, encontre as equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias e condic¸o˜es de contorno que as func¸o˜es X e T satisfazem.
2- (1991-2) Usando o fato de que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial parcial utt = a
2uxx e´ da forma
u(x, t) = φ(x+ at) + φ(x− at), resolva o problema de valor inicial
utt = a
2uxx
u(x, 0) = e−x2 ,−∞ < x < +∞
ut(x, 0) = 0
3- (1989-2) Dada a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi, f(x) = cosαx, x ∈ [−pi, pi], α ∈ (0, 1) constante,
use a se´rie de Fourier da mesma para mostrar que
cot(αpi) =
1
pi
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
.
4- (1989-2) Determine a soluc¸a˜o do problema
uxx = ut
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
onde
f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ 1/2
1− x, 1/2 ≤ x ≤ 1
5- (1989-2) Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para calcular u(x, t), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, se
utt = uxx
u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, ut(x, 0) = 0
u(x, 0) = sen(pix2l )
6- (1995-2) Resolva o problema de contorno
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = 1, 0 < x < 1
u(0, t) = 1, u(1, t) = 2, t > 0
7- (1995-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno:
uxx = utt, 0 < x < pi, t > 0,
u(0, t) = u(pi, t) = 0, t ≥ 0,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ pi,
u(x, 0) = |x− pi2 | − pi2 , 0 ≤ x ≤ pi.
8- (1991-1) Considere a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2 que no intervalo [0, 1] e´ definida por
f(x) =
{ −x, se − 1 ≤ x ≤ 0
x, se 0 ≤ x ≤ 1.
a) Calcule a se´rie de Fourier de f .
b) Calcule os valores da se´rie acima nos pontos x = 0, e x = 2.
c) Use o item (b) para mostrar que
pi2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+ · · ·
9- (1995-1) Considere uma barra de comprimento ` com uma distribuic¸a˜o inicial de temperaturas dada
por f(x) = − cos
(
pi(2x+`)
2`
)
, 0 ≤ x ≤ `, e com as extremidades te´rmicamente isoladas.
a) Determine a distribuic¸a˜o de temperaturas u(x, t) da barra em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual e´ a temperatura de equil´ıbrio da barra?
10- (1995-1) Use separac¸a˜o de varia´veis para resolver o seguinte problema de calor para t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ pi:
ut = 7uxx
ux(0, t)− 2u(0, t) = 0
ux(pi, t)− u(pi, t) = 0
u(x, 0) = sen(x),
encontrando as EDO’s associadas bem como suas condic¸o˜es de fronteira.
11- (1995-1) Considere o problema de valor inicial e de contorno
utt = 4uxx
u(0, t) = 0 = u(2, t) = 0
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = 1, 0< x < 2.
a) Mostre que un(x, t) = sen
npix
2 sen(npit), n = 1, 2, . . ., e´ soluc¸a˜o da EDP e satisfaz a todas as
condic¸o˜es do problema com excec¸a˜o da u´ltima.
b) Use un(x, t), n ≥ 1 para encontrar uma soluc¸a˜o para o problema dado.
12- (1995-1) Dados a func¸a˜o f(x) = 1− x, 0 ≤ x ≤ 1, ı´mpar, e perio´dica de per´ıodo 2, e que a sua se´rie
de Fourier e´
∞∑
n=1
2
npi
sen(npix),
determine:
a) Os pontos x onde a se´rie acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
b) O valor de
∞∑
n=1
1
n2
a partir da se´rie dada.
13- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f : IR→ IR a func¸a˜o de per´ıodo 2, tal que f(x) = |x| para −1 ≤ x ≤ 1. Determine
a se´rie de Fourier de f .
b) (1,0 pt) Seja g : IR→ IR a func¸a˜o de per´ıodo 2, tal que g(x) = −1 para −1 < x ≤ 0, e g(x) = 1
para 0 < x ≤ 1. Determine a se´rie de Fourier de g. Esta se´rie converge para g(x), para todo
x ∈ IR ?
Sugesta˜o para o item(b): que relac¸a˜o existe entre f e g ?
14- ( 1995-2)
a) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = ux(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, 0 < x < 1
b) Calcule lim
x→∞u(x, t), onde u(x, t) e´ a soluc¸a˜o do item (a).
15- ( 1995-2) (a) Verifique que u(x, t) = 12 [f(x− at) + f(x+ at)] + 12a
∫ x+at
x−at
g(s)ds e´ soluc¸a˜o de:

a2uxx = utt, −∞ < x, t < +∞
u(x, 0) = f(x), −∞ < x < +∞
ut(x, 0) = g(x), −∞ < x < +∞
b) Resolva o problema: 
uxx = utt, 0 < x < 1, 0 < t
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) = sen(2pix), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
16- ( 1995-2) Seja u(x, t) a soluc¸a˜o de:
uxx = utt, 0 < x < 1, −∞ < t < +∞
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) =
∞∑
1
knsen(npix), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
a) Mostre que E(t) =
∫ 1
0
(u2t (x, t) + u
2
x(x, t))dx e´ constante
b) Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) ≡ pi22
∞∑
1
n2k2n
17- (1995-2) Considere uma barra meta´lica de comprimento 1 que esta´ te´rmicamente isolada tanto
nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra, α2 = 1, e, que a
distribuic¸a˜o inicial de temperaturas na barra e´ dada por u(x, 0) = x, 0 < x < 1, determine:
a) A distribuic¸a˜o de temperaturas na barra, u(x, t) em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual e´ a temperatura de equil´ıbrio da barra?
18- (1998-2) Considere a func¸a˜o perio´dica f , de per´ıodo 2pi definida por
f(x) = |x|, −pi ≤ x ≤ pi.
(a) (1, 0 pts) Verifique(com detalhes) que a expansa˜o em se´rie de Fourier de f e´
pi
2
− 4
pi
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2 cos(2k − 1)x.
(b) (1, 0 pts) Use o item (a) para mostrar que
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2 =
pi2
8
.
(c) (1, 0 pts) Use (a) e a igualdade de Parseval para calcular a soma da se´rie
∞∑
k=1
1
(2k − 1)4 .
19- (1998-2) Seja f a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi definida por:
f(x) =
{
0, −pi ≤ x < 0,
senx, 0 ≤ x < pi.
(a) (1, 0 pts) Calcule a expansa˜o em se´rie de Fourier de f .
(b) (1, 0 pts) Se a expansa˜o se escreve como
a0
2
+
∞∑
n=1
ancosnx+ bnsennx, calcule o valor de
∞∑
n=1
an.
(c) (1, 0 pts) Como em (b), calcule
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n).
Observac¸o˜es finais: Estas listas apenas complementam os exerc´ıcios propostos no livro
texto, e, de modo algum tem o objetivo de substituir os problemas do livro do Boyce & diPrima nem
tampouco sugerir o estilo dos problemas que compora˜o os nossos exerc´ıcios escolares.
Agradecimento: Agradec¸o ao Professor Francisco Brito por ceder os arquivos com os
exerc´ıcios acima.