Considere as EDO’s : y′′ + 2x−1y′ + y = 2x2 + 12 e y′′ + x−1y′ − 4x−2y = 3x−1. Obtenha as soluções das EDO’s, a partir das funções : x−1 senx, ...

Para resolver as EDO's, podemos utilizar o método da variação de parâmetros. Primeiramente, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada a cada EDO. Para a primeira EDO, temos a equação homogênea y'' + 2x^(-1)y' + y = 0. Podemos encontrar a solução geral utilizando o método da equação característica, que nos dá a equação r^2 + 2x^(-1)r + 1 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r = 1/x. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1x^(-1)sen(x) + c2x^(-1)cos(x). Para a segunda EDO, temos a equação homogênea y'' + x^(-1)y' - 4x^(-2)y = 0. Novamente, podemos utilizar o método da equação característica para encontrar a solução geral, que é dada por yh(x) = c1x^2 + c2x^(-2). Agora, podemos utilizar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução particular de cada EDO. Para a primeira EDO, supomos que a solução particular é da forma yp(x) = u(x)x^(-1)sen(x) + v(x)x^(-1)cos(x). Derivando essa expressão, encontramos yp'(x) = u'(x)x^(-1)sen(x) + v'(x)x^(-1)cos(x) - u(x)x^(-2)sen(x) - v(x)x^(-2)cos(x) e yp''(x) = u''(x)x^(-1)sen(x) + v''(x)x^(-1)cos(x) - 2u'(x)x^(-2)sen(x) - 2v'(x)x^(-2)cos(x) + 2u(x)x^(-3)sen(x) + 2v(x)x^(-3)cos(x). Substituindo yp(x), yp'(x) e yp''(x) na primeira EDO, obtemos as seguintes equações: u''(x)sen(x) + v''(x)cos(x) = 2x^2 + 12 u'(x)sen(x) + v'(x)cos(x) - u(x)cos(x)/x + v(x)sen(x)/x = 0 Podemos resolver esse sistema de equações utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan ou qualquer outro método de sua preferência. Encontramos que u(x) = -2x^2cos(x) - 12xcos(x) + 6xsen(x) + C1x^3 e v(x) = 2x^2sen(x) + 12xsen(x) + 6xcos(x) + C2x^3, onde C1 e C2 são constantes de integração. Portanto, a solução geral da primeira EDO é y(x) = yh(x) + yp(x) = c1x^(-1)sen(x) + c2x^(-1)cos(x) - 2x^2cos(x) - 12xcos(x) + 6xsen(x) + C1x^3sen(x) + C2x^3cos(x). Para a segunda EDO, supomos que a solução particular é da forma yp(x) = u(x)x^2 + v(x)x^(-2). Derivando essa expressão, encontramos yp'(x) = u'(x)x^2 + 2ux e yp''(x) = u''(x)x^2 + 4u'(x)x + 2u(x). Substituindo yp(x), yp'(x) e yp''(x) na segunda EDO, obtemos as seguintes equações: u''(x)x^2 + 4u'(x)x + 2u(x) - u'(x) + 4v'(x)x^(-3) - 8v(x)x^(-4) = 3x^(-1) 2u'(x)x - 4u(x)x^(-2) + v''(x)x^(-2) - 2v'(x)x^(-3) = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos que u(x) = -x^2/2 - 3x/2 + C1/x e v(x) = x^(-2) + C2, onde C1 e C2 são constantes de integração. Portanto, a solução geral da segunda EDO é y(x) = yh(x) + yp(x) = c1x^2 + c2x^(-2) - x^2/2 - 3x/2 + C1ln(x) + x^(-2) + C2.