Encontre a solução geral da equação diferencial y′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2).

Para encontrar a solução geral da equação diferencial y′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2), primeiro precisamos encontrar a solução homogênea da equação característica y′′ − 2y′ + y = 0. A equação característica é dada por r² - 2r + 1 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos que r = 1 é uma raiz dupla. Portanto, a solução homogênea é yh(x) = (c1 + c2x)e^x. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação não homogênea. Podemos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar yp(x). Assumimos que yp(x) = u(x)e^x, onde u(x) é uma função a ser determinada. Então, temos que yp'(x) = u'(x)e^x + u(x)e^x e yp''(x) = u''(x)e^x + 2u'(x)e^x + u(x)e^x. Substituindo yp(x), yp'(x) e yp''(x) na equação diferencial original, obtemos: u''(x)e^x + 2u'(x)e^x + u(x)e^x - 2(u'(x)e^x + u(x)e^x) + (c1 + c2x)e^x = ex/(1 + x^2) Simplificando, temos: u''(x)e^x = ex/(1 + x^2) Integrando ambos os lados, obtemos: u'(x) = ∫(ex/(1 + x^2))e^-x dx Podemos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. Fazendo x = tan(t), temos dx = sec^2(t) dt e 1 + x^2 = sec^2(t). Substituindo essas expressões na integral, obtemos: u'(x) = ∫(etan(t))/(sec^2(t)) sec^2(t) dt = ∫e^tan(t) dt Fazendo u(t) = ∫e^tan(t) dt, temos que u'(x) = e^tan(t) e u(x) = ∫e^tan(t) dt. Substituindo u(x) e u'(x) na equação acima, obtemos: e^tan(t) = ex/(1 + x^2) Tomando o logaritmo natural em ambos os lados, temos: tan(t) = ln(ex/(1 + x^2)) Usando a identidade trigonométrica tan(t) = sin(t)/cos(t), temos: sin(t)/cos(t) = ln(ex/(1 + x^2)) Substituindo x = tan(t), temos: sin(arctan(x))/cos(arctan(x)) = ln(e^x/(1 + x^2)) Usando a identidade trigonométrica sin(arctan(x)) = x/√(1 + x^2) e cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x^2), temos: x/(1 + x^2) = ln(e^x/(1 + x^2)) Multiplicando ambos os lados por (1 + x^2), temos: x = (1 + x^2)ln(e^x/(1 + x^2)) Expandindo o lado direito, temos: x = xln(e^x) - xln(1 + x^2) + ln(e^x) - ln(1 + x^2) Simplificando, temos: x = x^2 + x - xln(1 + x^2) + x xln(1 + x^2) = x^2 ln(1 + x^2) = x e^(ln(1 + x^2)) = e^x 1 + x^2 = e^x Portanto, uma solução particular da equação diferencial é yp(x) = (1/2)e^x - (1/2)x^2e^x. A solução geral da equação diferencial é y(x) = yh(x) + yp(x) = (c1 + c2x)e^x + (1/2)e^x - (1/2)x^2e^x.