25- (1984-1) Determine uma solução particular da equação y′′ + 2y′ + y = 3ex.

Para encontrar uma solução particular da equação y'' + 2y' + y = 3ex, podemos utilizar o método da variação dos parâmetros. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y'' + 2y' + y = 0, que é dada por yh = c1e-x + c2xe-x. Em seguida, encontramos as derivadas de yh: y'h = -c1e-x + c2e-x - c2xe-x e y''h = c1e-x - 2c2e-x + c2xe-x. Agora, precisamos encontrar duas funções u1(x) e u2(x) que multiplicadas pelas derivadas de yh, somadas resultem em 3ex. Podemos escolher u1(x) = 0 e u2(x) = ex. Assim, temos que yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 = 0*e-x + ex*xe-x = xe-x. Portanto, a solução geral da equação y'' + 2y' + y = 3ex é dada por y = yh + yp = c1e-x + c2xe-x + xe-x.