Uma partı́cula de massam se move sobre uma superfı́cie horizontal lisa com uma veloci- dade v0. Ela está presa a uma das extremidades de um fio id...

Question

Uma partı́cula de massam se move sobre uma superfı́cie horizontal lisa com uma veloci- dade v0. Ela está presa a uma das extremidades de um fio ideal de comprimento " cuja outra extremidade está fixa no pontoO. Inicialmente, o fio não está esticado e a partı́cula descreve uma trajetória retilı́nea cuja distância ao pontoO é b, como indica a figura. Num dado instante, o fio irá se esticar. Suponha que a partir desse instante a partı́cula passe a descrever um movimento circular uniforme de raio ".
(a) Considere as grandezas da partı́cula: momento linear, momento angular relativo ao ponto O e energia mecânica. Quais, dentre elas, são conservadas desde um instante em que o fio está frouxo até um outro em que o fio está esticado? Justifique.
(b) Determine o módulo da velocidade da partı́cula quando ela estiver em movimento circular uniforme. Calcule o perı́odo desse movimento, isto é, o intervalo gasto para ela dar uma volta completa.

Uma partı́cula de massam se move sobre uma superfı́cie horizontal lisa com uma veloci- dade v0.
Ela está presa a uma das extremidades de um fio ideal de comprimento " cuja outra extremidade está fixa no pontoO.
Inicialmente, o fio não está esticado e a partı́cula descreve uma trajetória retilı́nea cuja distância ao pontoO é b.
Num dado instante, o fio irá se esticar.
A partir desse instante a partı́cula passa a descrever um movimento circular uniforme de raio ".
Deve-se identificar quais grandezas da partı́cula são conservadas desde um instante em que o fio está frouxo até um outro em que o fio está esticado.
Deve-se determinar o módulo da velocidade da partı́cula quando ela estiver em movimento circular uniforme.
Deve-se calcular o perı́odo desse movimento, isto é, o intervalo gasto para ela dar uma volta completa.

Ed · Answer

(a) Desde o instante em que o fio está frouxo até o instante em que o fio está esticado, a energia mecânica da partícula é conservada, pois a superfície é lisa e não há forças dissipativas atuando. O momento linear não é conservado, pois a direção da velocidade muda quando o fio se estica. O momento angular relativo ao ponto O também não é conservado, pois a partícula passa a descrever um movimento circular.

(b) Para a partícula em movimento circular uniforme, a força resultante é centrípeta e é dada por Fc = mv²/r, onde m é a massa da partícula, v é a velocidade e r é o raio da trajetória circular. Como a força resultante é perpendicular à velocidade, o momento linear não é conservado. A energia mecânica é conservada, pois a força resultante é conservativa. Assim, temos que:

mv0 = mv
v = v0
Fc = mv²/r = m(v0)²/r
T = 2πr/v = 2πr/v0 = 2π(b² + h²)/v0

Onde h é a altura do triângulo formado pela trajetória retilínea e o raio da trajetória circular.

Uma partı́cula de massam se move sobre uma superfı́cie horizontal lisa com uma veloci- dade v0. Ela está presa a uma das extremidades de um fio id...

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