Encontre a solução da equação diferencial y"-6y'+9y=tê^3t com as seguintes condições iniciais y(0)=2 e y′(0)=6 .

A equação diferencial dada é y''-6y'+9y=tê^3t. Para resolvê-la, primeiro encontramos a solução homogênea, que é dada por yh=c1e^3t+c2te^3t. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp. Como o termo do lado direito é tê^3t, tentamos uma solução particular na forma de yp=At^3e^3t. Substituindo yp na equação diferencial, obtemos: 27Ate^3t = tê^3t A=1/27 Portanto, yp=(1/27)t^3e^3t. A solução geral é dada por y=yh+yp, então: y=c1e^3t+c2te^3t+(1/27)t^3e^3t Usando as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=6, podemos encontrar os valores de c1 e c2: y(0)=c1=2 y'(0)=3c1+3c2=6 c2=0 Portanto, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: y=2e^3t+(1/27)t^3e^3t.

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