A solução é homogênea. Podemos apelar à equação característica:
\(\lambda^2 + \lambda - 6 = 0\)
Por soma e produto, ou Bhaskara, \(\lambda = 2\) ou \(\lambda = -3\). Logo, a solução geral é do tipo:
\(y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}\)
Como uma das condições iniciais é dada em função da derivada, torna-se relevante escrevê-la:
\(y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 3C_2 e^{-3x}\)
Aplicando as condições, teremos:
\(y(0) = 1 = C_1e^0 + C_2e^0 \\ y'(0) = 0 = 2C_1e^0 - 3C_2e^0\)
\(C_1 + C_2 = 1 \\ 2C_1 - 3C_2 = 0\)
O sistema anterior tem solução simples. Isolando \(C_1\) na segunda equação e substituindo na primeira, obtemos:
\(\frac{3}{2} C_2 + C_2 = 1 \\ C_2 = \frac{2}{5}\)
De onde sai:
\(C_1 = \frac{3}{5}\)
Finalmente, a solução é escrita como:
\(y(x) = \frac{3}{5} e^{2x} + \frac{2}{5} e^{-3x}\)
Para x = 1, o valor aproximado será:
\(y(1) = \frac{3}{5} e^{2} + \frac{2}{5} e^{-3} \\ \boxed{y(1) \approx 4,45}\)
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